Esercizio

MATERIA – FISICA

Mercurio dista 46.0 x 10^6 km dal Sole in

Mercurio dista 46.0 x 10^6 km dal Sole in

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

Mercurio dista 46.0 x 10^6 km dal Sole in perielio, e 69,8 x 10^6 km in afelio. La velocità massima che raggiunge è 59,0 km/s.
1. Qual è la velocità minima di Mercurio? Dove la raggiunge?
2. Quanto vale il momento angolare di Mercurio nel punto C indicato nella figura?
3. Si può calcolare la velocità in C conoscendo la distanza dal Sole in quel punto?

Introduzione all’Argomento:

La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio ci viene detto che Mercurio dista 46,0 x 10^6 km dal Sole in perielio e 69,8 x 10^6 km in afelio. Sapendo che nel moto di rivoluzione vale la  legge di conservazione del momento angolare, eguagliamo il momento angolare di Mercurio rispetto al Sole all’afelio e al perielio. Dalla relazione così ottenuta esplicitiamo la velocità in afelio, come da richiesta del quesito. A questo punto, possiamo calcolare il valore del momento angolare in C (come detto in precedenza esso è uguali in tutti i punti della traiettoria), ma non la velocità del pianeta nello stesso punto, in quanto necessitiamo di conoscere l’angolo presente tra il raggio vettore e il vettore quantità di moto (o velocità).

Risoluzione dell’Esercizio:

Avendo studiato la seconda legge di Keplero so che, come conseguenza, la velocità di un pianeta attorno al Sole è massima in perielio e minima in afelio in quanto i raggi-vettori che uniscono i due corpi spazzano aree uguali in tempi uguali.

Sapendo che la legge appena citata è una conseguenza della legge di conservazione del momento angolare, eguaglio il momento angolare di Mercurio rispetto al Sole all’afelio e al perielio (ricordo che $p$ è la quantità di moto e che l’angolo tra raggio e quantità di moto è di 90° e quindi $\sin90^\circ=1$):

$$L_a=L_p$$

da cui:

$$r_ap_a=r_pp_p$$

ovvero:

$$M_Mr_av_a=M_Mr_pv_p$$

semplificando ottengo che la velocità minima in afelio è pari a:

$${v_a}
=
\frac{r_p}{r_a}v_p
=\frac{46,0\times10^{9}m}{69,8\times10^{9}m}\times$$

$$\times59,0\times10^3\frac{m}{s}
=3,89\times 10^4 \frac{m}{s}$$

Da questa relazione posso avere un ulteriore conferma del fatto che la velocità minima si abbia in afelio in quanto ottengo che il rapporto tra le due velocità è dato da:

$$\frac{v_a}{v_p}
=
\frac{r_p}{r_a}
=
\frac{46,0\times10^{9}m}{69,8\times10^{9}m}
=0,659$$

Essendo il rapporto minore di 1, significa che il numeratore è minore del denominatore e dunque la velocità è massima in perielio e minima in afelio.

Avendo specificato in precedenza che vale la legge di conservazione del momento angolare, posso affermare che esso è il medesimo sia nel punto C che in afelio:

$$L_C=L_a=M_Mr_av_a=$$

$$=3,3\times10^{23}kg\times69,8\times10^9m\times3,89\times$$

$$\times10^4\frac{m}{s}
=8,96\times10^{38}kg\frac{m}{s^2}$$

Se conoscessi la distanza del punto C dal Sole non potrei però determinare la velocità di Mercurio in quel punto. Necessiteremmo infatti anche dell’angolo che si forma tra il raggio vettore e la quantità di moto (o la velocità) in quanto esso non è più di 90° come in afelio e perielio.
In formule:

$$L_C=r_Cp_C\sin\alpha=r_CM_Mv_C\sin\alpha$$

da cui:

$$v_C=\frac{L_C}{r_CM_M\sin\alpha}$$

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