Sputnik è il nome del primo satellite artificiale messo
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Sputnik è il nome del primo satellite artificiale messo in orbita dall’ex Unione Sovietica nel 1957. La sua orbita era ellittica e il satellite impiegava 96,2 min a percorrerla. La distanza tra la Terra e il punto più vicino della sua orbita era $h_min$ = 215 km.
1. Calcola il semiasse maggiore della sua orbita.
2. Calcola la distanza tra la Terra e il punto più lontano della sua orbita $h_max$.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci vengono date delle nozioni di tipo storico: “Sputnik è il nome del primo satellite artificiale messo in orbita dall’ex Unione Sovietica nel 1957”. Dopo aver convertito il periodo di rivoluzione in secondi, applichiamo la terza legge di Keplero in maniera tale da poter esplicitare il semiasse maggiore dell’orbita. Ne calcoliamo il valore, dopodiché andiamo ad instaurare una relazione tra il raggio terrestre, le altezze (quella massima e quella minima) raggiunte dal satellite e l’asse dell’ellisse. A questo punto non dovremo fare altro che ricavare l’altezza $h_max$ per semplice sottrazione.
Risoluzione dell’Esercizio:
Converto il periodo di rivoluzione di Sputnik in secondi:
$$T_s=96,2\times60s=5772s$$
Determino il semiasse maggiore dell’orbita di Sputnik partendo dalla terza legge di Keplero applicata ai satelliti:
$$\frac{a_{s}^3}{T_{s}^2}
=
\frac{GM_{T}}{4\pi^2}$$
da cui:
$$a_{s}
=
\sqrt[3]
{
\frac{GM_{T}T_{s}^2}{4\pi^2}
}
=$$
$$\sqrt[3]
{…
}$$
$$=6,95\times10^6m$$
(i calcoli non sono riportati per motivi di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
Determino i valori della distanza in perigeo e apogeo tenendo in considerazione il raggio terrestre:
$$r_a=h_{max}+R_T$$
$$r_p=h_{min}+R_T$$
Assimilando l’orbita ad un’ellisse, so che il punto più vicino (perigeo) e il punto più lontano (apogeo) sono i vertici dell’asse maggiore. Dunque so che la loro somma dovrà essere pari all’asse stesso:
$$r_a+r_p=2a$$
da cui:
$$(h_{max}+R_T)+(h_{min}+R_T)=2a$$
facendo i calcoli:
$$h_{max}+h_{min}+2R_T=2a$$
da cui:
$$h_{max}
=
2a-2R_T-h_{min}
=$$
$$=2(a-R_T)-h_{min}
=2(6,95-6,371)\times$$
$$\times10^6m-215\times10^3m
=$$
$$=943\times10^3m=943km$$
