Esercizio

MATERIA – FISICA

Supponi che un meteoroide possa cadere verso

Supponi che un meteoroide possa cadere verso

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

Supponi che un meteoroide possa cadere verso il centro della Terra partendo da fermo (nel sistema di riferimento inerziale del Sole) da un’altezza di 1830 km sopra la superficie terrestre. Con che velocità colpirebbe la superficie terrestre? (Trascura la presenza dell’atmosfera).

Introduzione all’Argomento:

La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio ci viene detto: “Supponi che un meteoroide possa cadere verso il centro della Terra …”. Per prima cosa applichiamo la legge di conservazione dell’energia meccanica. Fatto ciò, dovremo semplicemente scrivere le grandezze (energia cinetica ed energia potenziale gravitazionale) per esteso. Dalla relazione che abbiamo ottenuto esplicitiamo poi la velocità finale con cui il meteoroide arriverebbe sulla Terra. Sostituiamo infine i valori numerici, facciamo i calcoli e otteniamo così il risultato richiesto dal quesito.

Risoluzione dell’Esercizio:

Al di fuori dell’atmosfera terrestre, sul meteoroide non vi sono forze di tipo dissipativo, pertanto vale la conservazione dell’energia meccanica totale:

$$K_f+U_f=K_0+U_0$$

Scrivendo le grandezze per esteso ottengo:

$$\frac{1}{2}mv_f^2

G\frac{mM_T}{r_T}
=
\frac{1}{2}mv_0^2

G\frac{mM_T}{r_T+h}$$

semplificando e ricordando che parte da fermo:

$$\frac{1}{2}v_f^2-
G\frac{M_T}{r_T}
=-G\frac{M_T}{r_T+h}$$

Esplicito la relazione appena scritta rispetto alla velocità:

$$v=\sqrt{2GM_T\left(-\frac{1}{r_T+h}+\frac{1}{r_T}\right)}=$$

$$=\sqrt{…}=5,28\times10^3\frac{m}{s}$$

(i calcoli non sono riportati per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
Il meteorite colpirebbe la superficie terrestre alla velocità di $v=5,28\times10^3\frac{m}{s}$.  

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