Un grosso meteorite attrae un satellite di massa 210 kg
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un grosso meteorite attrae un satellite di massa 210 kg in orbita circolare attorno alla Terra e lo allontana di 2400 km rispetto alla sua orbita. L’altezza iniziale del satellite era di 13200 km. Qual è la variazione di energia potenziale gravitazionale?
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è un grosso meteorite che attrae un satellite di 210 kg. Dopo aver scritto la relazione che esprime la variazione di energia potenziale, determiniamo il valore effettivo dell’altezza finale rispetto alla superficie terrestre. Sostituiamo dunque i numeri nella relazione scritta in precedenza, in maniera tale da ottenere la grandezza richiesta dal quesito. Si tratta perciò di un quesito semplice, ma allo stesso tempo articolato. Ciò necessita quindi di un notevole grado di attenzione.
Risoluzione dell’Esercizio:
Sapendo che, in generale, l’energia potenziale gravitazionale di un satellite rispetto alla Terra è data dalla seguente formula:
$$U=-G\frac{mM_T}{r}$$
Posso scrivere la variazione di energia potenziale gravitazionale come:
$$\Delta U = U_f-U_0
=$$
$$=-G\frac{mM_T}{r_T+h_f}
-\left(-G\frac{mM_T}{r_T+h_0}\right)
=$$
$$=-G{mM_T}\left(\frac{1}{r_T+h_f}-\frac{1}{r_
T+h_0}\right)$$
Determino l’altezza finale rispetto alla superficie:
$$h_f=h_0+2400km=$$
$$=(13200+2400)km=15600km$$
Calcolo ora la variazione di energia:
$$\Delta U
=
-G{mM_T}\left(\frac{1}{r_T+h_f}-\frac{1}{r_T+h_0}\right)
=$$
$$=-6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\times210kg\times5,972\times$$
$$\times10^{24}kg\times\Biggl(\frac{1}{(6,371+15,6)\times10^6m}-$$
$$\frac{1}{(6,371+13,2)\times10^6m}\Biggr)=4,67\times10^8J$$
