Un punto materiale inizialmente fermo
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un punto materiale inizialmente fermo (rispetto alla superficie terrestre) inizia a cadere partendo da un’altezza di 1,27 x 10^7 m rispetto al centro della Terra.
1. Quanto tempo impiega a percorrere una distanza di 16,0 m verso il basso?
2. Qual è il valore della sua velocità finale verso il basso?
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è un punto materiale inizialmente fermo che inizia a cadere da una certa altezza h. Dato che lo spostamento descritto dal quesito è minimo rispetto alle grandezze considerate, consideriamo l’accelerazione di gravità costante lungo il tragitto. Fatta questa considerazione possiamo procedere secondo due strade: la prima prevede una semplice applicazione delle leggi relative al moto uniformemente accelerato, mentre la seconda, più affine al percorso didattico, comporta un mix delle formule appena citate con la legge di conservazione dell’energia meccanica e quelle relative al capitolo della gravitazione. In ognuno dei due casi, i risultati a cui giungiamo sono i medesimi; la scelta è pertanto completamente ininfluente.
Risoluzione dell’Esercizio:
Il punto materiale è sottoposto a un’accelerazione di gravità data dalla formula (dato lo spostamento minimo di 16 m posso considerarla costante):
$$g=\frac{GM_T}{d^2}$$
METODO 1
Dallo studio del moto uniformemente accelerato so che vale la legge oraria:
$$h=h_0+v_0t+\frac{1}{2}gt^2$$
dato che $v_0=0$ e imponendo che $h_0=0$:
$$t=\sqrt{\frac{2h_f}{g}}=\sqrt{\frac{2hd^2}{GM_T}}
=$$
$$=\sqrt{\frac{2\times16m\times(1,27\times10^7m)^2}{6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\times5,972\times10^{24}kg}}$$
$$=3,60s$$
Applico ora la legge della velocità:
$$v=v_0+gt$$
dato che $v_0=0$:
$$v=gt=\frac{GM_T}{d^2}t
=$$
$$=\frac{6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\times5,972\times10^{24}kg}{(1,27\times10^7m)^2}\times$$
$$\times3,60s
=
8,89\frac{m}{s}$$
METODO 2
Dallo studio del moto uniformemente accelerato so che vale la legge della velocità:
$$v=v_0+gt$$
dato che $v_0=0$:
$$v=gt$$
da cui:
$$t=\frac{v}{g}=\frac{vd^2}{GM_T},(1)$$
Al di fuori dell’atmosfera terrestre, sul meteoroide non vi sono forze di tipo dissipativo, pertanto vale la conservazione dell’energia meccanica totale:
$$K_f+U_f=K_0+U_0$$
Scrivendo le grandezze per esteso ottengo:
$$\frac{1}{2}mv_f^2
–
G\frac{mM_T}{d-16m}
=
\frac{1}{2}mv_0^2
–
G\frac{mM_T}{d}$$
semplificando e ricordando che parte da fermo:
$$\frac{1}{2}v_f^2-G\frac{M_T}{d-16m}
=-G\frac{M_T}{d}$$
Esplicito la relazione appena scritta rispetto alla velocità:
$$v
=
\sqrt
{
2GM_T\left(\frac{1}{d-16m}-\frac{1}{d}\right)
},(2)$$
Sostituisco la $(2)$ nella $(1)$ e ottengo che:
$$t=\frac{\sqrt
{
2GM_T\left(\frac{1}{d-16m}-\frac{1}{d}\right)
}d^2}{GM_T}$$
mettendo tutto sotto radice:
$$t=\sqrt
{
\frac{2GM_T\left(\frac{1}{d-16m}-\frac{1}{d}\right)d^4}{G^2M_T^2}
}$$
semplificando:
$$t=
\sqrt
{
\frac{2\left(\frac{1}{d-16m}-\frac{1}{d}\right)d^4}{GM_T}
}
=$$
$$=\sqrt{…}
=
3,60s$$
(per motivi di spazio non sono riportati i calcoli, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
Per determinare il valore della velocità finale verso il basso del punto materiale applico la formula $(2)$:
$$v
=
\sqrt
{
2GM_T\left(\frac{1}{d-16m}-\frac{1}{d}\right)
}
=$$
$$=\sqrt{…}
=8,89\frac{m}{s}$$
(per motivi di spazio non sono riportati i calcoli, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
