Considera la Terra e la Luna che si trovano
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Considera la Terra e la Luna che si trovano nella posizione di minima distanza (detta perigeo), in cui distano tra loro 3,633 x 10^8 m. Sulla retta che passa per i centri della Terra e della Luna, dall’altra parte della Luna rispetto alla Terra, determina a che distanza dal centro della Luna si trova il punto in cui il campo gravitazionale risultante dei due corpi celesti sia il doppio di quello generato (nello stesso punto) dalla sola Terra.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci viene detto: “Considera la Terra e la Luna che si trovano alla minima distanza possibile”. Imponiamo la relazione necessaria affinché sulla retta data vi sia un punto in cui la g risultante sia il doppio di quello esercitata dalla Terra. Esplicitata la distanza del punto considerato, non dovremo fare altro che risolvere l’equazione di secondo grado che viene a formarsi. Attenzione: uno dei due risultati sarà da scartare.
Risoluzione dell’Esercizio:
Scrivo in formule la richiesta dell’esercizio:
$$g_{T}+g_L=2g_T$$
ovvero:
$$g_L=g_T$$
da cui:
$$G\frac{M_L}{d^2}=G\frac{M_T}{(d_p+d)^2}$$
Semplificando la costante di gravitazione ed esplicitando rispetto alla distanza tra il punto e la Luna ottengo un’equazione di secondo grado:
$$(M_T-M_L)d^2-2M_Ld_pd-M_Ld_p^2=0$$
Sostituendo i valori numerici e facendo i calcoli ottengo (tralascio le unità di misura per alleggerire la scrittura):
$$5,90\times10^{24}d^2-5,33\times10^{31}d-$$
$$9,69\times10^{39}=0$$
Risolvendo ottengo un valore negativo (che scarto in quanto la distanza è, per definizione, una grandezza positiva) e uno positivo:
$$d=4,53\times10^7m$$
