Due asteroidi di massa m1 = 4 x 10^9 kg
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Due asteroidi di massa m1 = 4 x 10^9 kg e m2 = 2 m1, si trovano in quiete a distanza molto grande l’uno dall’altro e iniziano a muoversi sotto l’effetto della forza gravitazionale. Supponi che non siano influenzati da altri corpi e determina le seguenti grandezze quando arrivano alla distanza relativa R = 6,67 x 10^3 km:
1. L’energia cinetica totale dei due corpi;
2. La velocità del centro di massa dei due corpi;
3. Il modulo della velocità dell’asteroide di massa m1.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi sono due asteroidi di massa m1 = 4 x 10^9 kg e m2 = 2 m1. Conoscendo tutti i dati di cui necessitiamo, calcoliamo l’energia potenziale gravitazionale dei due corpi applicandone la definizione. A questo punto determiniamo l’energia cinetica totale ricordando che l’energia meccanica si conserva durante il moto. Allo stesso modo si conserva la quantità di moto totale del sistema, la quale sarà dunque sempre pari a zero (i due corpi sono inizialmente fermi). Per quanto riguarda la velocità dell’asteroide 1, invece, non dobbiamo fare altro che esprimerla in funzione di v2 e sostituire poi la relazione trovata all’interno della definizione di energia cinetica.
Risoluzione dell’Esercizio:
So che l’energia potenziale gravitazionale dei due asteroidi è pari a:
$$U=-G\frac{m_1m_2}{R}
=
-G\frac{2m_1^2}{R}
=$$
$$=-6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^1}
\times
\frac{2\times(4\times10^9kg)^2}{6,67\times10^6m}
$$
$$=-320J$$
So che l’energia meccanica totale si conserva durante il moto e so anche che, trovandosi in quiete a distanza praticamente infinita, l’energia meccanica iniziale è pari a zero:
$$E_{tot}=0$$
Dunque:
$$E_{tot}=U+K=0$$
da cui:
$$K=-U=-(-320J)=320J$$
Dal momento che, durante il moto, agisce esclusivamente la forza di interazione gravitazionale tra i due asteroidi, la quale è per definizione una forza conservativa, posso affermare che la quantità di moto totale del sistema si conserva.
Dal testo so che i due corpi sono inizialmente in quiete ($p_0=m_1v_0+m_2v_0=0$); vista la premessa precedente (conservazione della quantità di moto totale) ciò significa che la quantità di moto del sistema sarà sempre pari a 0. Perciò:
$$p=v_{cm}(m_1+m_2)=0$$
da cui:
$$v_{cm}=0$$
Ricavo ora la velocità del corpo 2 in funzione di quella del corpo 1 rifacendomi nuovamente alla conservazione della quantità di moto e sapendo che $p=0$:
$$m_1v_1+m_2v_2=0$$
sapendo che:
$$m_2=2m_1$$
ho che:
$$m_1v_1+2m_1v_2=m_1(v_1+2v_2)=0$$
da cui:
$$v_2=-\frac{v_1}{2}$$
Scrivo infine la formula dell’energia cinetica totale sostituendo poi la relazione che ho appena trovato:
$$K_{tot}=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2
=\frac{1}{2}m_1v_1^2+$$
$$+\frac{1}{2}2m_1\left(-\frac{v_1}{2}\right)^2
=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{4}m_1v_1^2
=$$
$$=\frac{3}{4}m_1v_1^2$$
Sapendo che $K_{tot}=320J$ (v. Punto 1), posso scrivere che:
$$\frac{3}{4}m_1v_1^2=K_{tot}$$
da cui:
$$v_1
=
\sqrt
{
\frac{4K_{tot}}{3m_1}
}
=$$
$$=\sqrt
{
\frac{4\times320J}{3\times4\times10^9kg}
}
=3,3\times10^{-4}\frac{m}{s}$$
