Europa uno dei satelliti di Giove (M = 1.90 x 10^27 kg)
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Europa, uno dei satelliti di Giove (M = 1.90 x 10^27 kg), quando si trova nel perigiovio ha una distanza dal suo pianeta di 66,5 x 10^7 m e un’energia cinetica di 4,57 x 10^30 J.
1. Calcola l’energia totale e potenziale del sistema Europa-Giove al perigiovio;
2. Determina la massa di Europa.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci viene presentato Europa, uno dei satelliti di Giove (M = 1,90 x 10^27 kg). Utilizzando le formule che mettono in relazioni diretta l’energia cinetica con l’energia potenziale gravitazionale e con l’energia meccanica totale (https://schout.it/2022/04/04/considera-un-satellite-di-massa-m-che/ ), possiamo calcolare queste grandezze in perigiovio. Determiniamo poi la massa di Europa partendo dalla definizione di energia potenziale gravitazionale. Superato il problema iniziale riguardante l’energia meccanica, si tratta dunque di un esercizio al quanto semplice.
Risoluzione dell’Esercizio:
E’ possibile dimostrare che l’energia meccanica totale è pari all’opposto dell’energia cinetica (v. https://schout.it/2022/04/04/considera-un-satellite-di-massa-m-che/ ), dunque:
$$E_{tot}=-K=-4,57\times10^{30}J$$
E che l’energia potenziale è pari all’opposto del doppio dell’energia cinetica (v. https://schout.it/2022/04/04/considera-un-satellite-di-massa-m-che/ ), quindi:
$$U=-2K=$$
$$=-2\times4,57\times10^{30}J=-9,14\times10^{30}J$$
So che l’energia potenziale gravitazionale può essere anche espressa in funzione della massa del satellite tramite la seguente formula:
$$U=-G\frac{M_EM_G}{r}$$
da cui:
$$M_E
=
-\frac{Ur}{GM_G}
=$$
$$=-\frac{-9,14\times10^{30}J\times66,5\times10^7m}{6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\times1,90\times10^{27}kg}
=$$
$$=4,80\times10^{22}kg$$
