Esercizio

MATERIA – FISICA

I punti A B e C sono i vertici di un triangolo equilatero

I punti A B e C sono i vertici di un triangolo equilatero

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

I punti A B e C sono i vertici di un triangolo equilatero con i lati lunghi 25,3 km. Nei punti A e B si trovano due asteroidi di massa ma = 6,87 x 10^10 kg e mb = 3,26 x 10^10 kg. Usa il sistema di riferimento della figura e determina il vettore campo gravitazionale generato dai due asteroidi nel punto C e il suo modulo.

Introduzione all’Argomento:

La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio abbiamo i punti A, B e C che sono i vertici di un triangolo equilatero. Utilizzando il sistema di riferimento riportato nella grafica, vogliamo determinare il vettore campo gravitazionale generato dagli asteroidi in A e B sul punto C. Per farlo scomponiamo lungo gli assi i singoli campi generati da A e B (ricordando che gli angoli di un triangolo equilatero sono sempre di 60°); dopodiché calcoliamo le componenti cartesiane del vettore risultante (per somma algebrica)  e infine ne determiniamo il modulo applicando il teorema di Pitagora.

Risoluzione dell’Esercizio:

Essendo un triangolo equilatero so che i lati sono tutti uguali, così come gli angoli ($\alpha=60^\circ$).

Determino il modulo dei singoli campi gravitazionali esercitati da A e B:

$$g_a=G\frac{m_a}{l^2}
=
6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\times$$

$$\times\frac{6,87\times10^{10}kg}{(25,3\times10^3m)^2}
=
7,15\times10^{-9}\frac{m}{s^2}$$

$$g_b=G\frac{m_b}{l^2}
=
6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\times$$

$$\times\frac{3,26\times10^{10}kg}{(25,3\times10^3m)^2}
=
3,40\times10^{-9}\frac{m}{s^2}$$

Scompongo ora i due vettori lungo gli assi:

$$g_{a_x}
=
g_a\cos\alpha
=
7,15\times10^{-9}\frac{m}{s^2}\cos(60^\circ)=$$

$$=3,575\times10^{-9}\frac{m}{s^2}$$

$$g_{a_y}
=
g_a\sin\alpha
=
7,15\times10^{-9}\frac{m}{s^2}\sin(60^\circ)=$$

$$=6,192\times10^{-9}\frac{m}{s^2}$$

$$g_{b_x}
=
g_b\cos\alpha
=
3,40\times10^{-9}\frac{m}{s^2}\cos(60^\circ)=$$

$$=1,70\times10^{-9}\frac{m}{s^2}$$

$$g_{b_y}
=
g_b\sin\alpha
=
3,40\times10^{-9}\frac{m}{s^2}\sin(60^\circ)=$$

$$=2,944\times10^{-9}\frac{m}{s^2}$$

Sapendo che il vettore risultante è dato dalla somma vettoriale $\vec g_a + \vec g_b$, determino le sue componenti cartesiane per somma algebrica:

$$g_{{tot}_x}
=
g_{b_x}-g_{a_x}
=
(1,70-3,575)\times$$

$$\times10^{-9}\frac{m}{s^2}
=-1,88\times10^{-9}\frac{m}{s^2}$$

$$g_{{tot}_y}
=
g_{b_x}+g_{a_x}
=
(2,944+6,192)\times$$

$$\times10^{-9}\frac{m}{s^2}
=9,14\times10^{-9}\frac{m}{s^2}$$

Calcolo ora il modulo del vettore applicando il teorema di Pitagora:

$$g_{tot}
=
\sqrt{(g_{{tot}_x})^2+(g_{{tot}_y})^2}
=$$

$$
\sqrt{(-1,88\times10^{-9}\frac{m}{s^2})^2+(9,14\times10^{-9}\frac{m}{s^2})^2}
$$

$$=9,33\times10^{-9}\frac{m}{s^2}$$

Al posto dei metri al secondo quadrato è possibile anche utilizzare i Newton su chilogrammo, è del tutto indifferente:

$$g_{tot}=9,33\times10^{-9}\frac{m}{s^2}
=9,33\times10^{-9}\frac{N}{kg}$$

Condividi l’esercizio coi tuoi compagni:

WhatsApp
Email
Telegram