Un satellite di massa m = 1.00 x 10^3 kg
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un satellite di massa m = 1.00 x 10^3 kg, viene condotto da un’altitudine hA = 1,00 x 10^6 m dalla superficie terrestre a un’altitudine hB = 8,00 x 10^4 m, perché si disintegri nell’atmosfera.
1. Quale lavoro compie la forza gravitazionale della terra sul satellite?
2. Si ottiene una risposta accettabile, se si approssima la forza gravitazionale con la forza-peso a cui sarebbe sottoposto il satellite sul suolo terrestre?
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio abbiamo un satellite di massa m = 1.00 x 10^3 kg che viene condotto da un’altitudine $h_a$ fino a $h_b$. Conosciamo la formula che esprime l’energia potenziale gravitazionale di un corpo situato a una certa distanza dal centro della Terra. Possiamo dunque calcolare questa grandezza in $h_a$ e $h_b$. Determiniamo poi il lavoro della forza gravitazionale ricordando che esso corrisponde all’opposto della variazione dell’energia potenziale. E’ bene specificare che se approssimassimo la forza gravitazionale alla forza-peso che agisce sul satellite a terra otterremmo un risultato non coerente con la realtà dei fatti. Ciò è dovuto al fatto che le altezze a cui si trova sono confrontabili con quella del raggio terrestre.
Risoluzione dell’Esercizio:
Sapendo che, in generale, l’energia potenziale gravitazionale di un satellite rispetto alla Terra è data dalla seguente formula:
$$U=-G\frac{mM_T}{r}$$
Posso scrivere la variazione di energia potenziale gravitazionale come:
$$\Delta U = U_f-U_0
=
-G\frac{mM_T}{r_T+h_B}
-$$
$$\left(-G\frac{mM_T}{r_T+h_A}\right)
=
-G{mM_T}\Biggl(\frac{1}{r_T+h_B}-$$
$$\frac{1}{r_
T+h_A}\Biggr)=…=-7,71\times10^9J$$
(non riportiamo i calcoli per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
Sapendo che il lavoro è opposto alla variazione di energia potenziale, ho che:
$$W=-\Delta U=$$
$$=-(-7,71\times10^9J)=7,71\times10^9J$$
Se approssimassi la forza gravitazionale con la forza-peso che agisce sul satellite a Terra avrei che:
$$\Delta U=mg\Delta h
=1,0\times10^3kg\times9,8\frac{m}{s^2}\times$$
$$\times(80-1000)\times10^3m
=
-9,02\times10^8J$$
Questa approssimazione non è dunque accettabile, in quanto le altezze a cui si trova il satellite (specialmente quella iniziale) sono confrontabili con il raggio terrestre.
