Esercizio

MATERIA – FISICA

Una pallina di massa m = 2.5 g

Una pallina di massa m = 2.5 g

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

Una pallina di massa m = 2.5 g e carica elettrica q = -670 nC è posta nel vuoto a un’altezza di 78 cm da un piano orizzontale con densità superficiale uniforme σ = -4,1 x 10^-7 C/m2.
1. Calcola l’accelerazione della pallina.
2. Quanto tempo impiega la pallina per cadere sul piano?

Introduzione all’Argomento:

L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio vi è una pallina di massa m = 2.5 g e carica elettrica q = -670 nC. Dopo aver definito il sistema di riferimento che adottiamo per la risoluzione del quesito, determiniamo l’accelerazione applicando il secondo principio della dinamica (dobbiamo considerare anche la forza peso!). Trovato il risultato, che avrà segno meno in quanto la pallina si dirige verso il basso, applichiamo l’equazione oraria del moto uniformemente accelerato. In questo modo, calcoliamo il tempo necessario per cadere sul piano.

Risoluzione dell’Esercizio:

Innanzitutto oriento il sistema di riferimento con l’asse y positivo verso l’alto.
Determino l’accelerazione della pallina applicando il secondo principio della dinamica (su di essa agiscono forza peso e forza elettrica):

$$F_e-F_p=ma$$

da cui:

$$a=\frac{F_e-F_P}{m}$$

So che la forza elettrica può essere espressa in funzione del campo elettrico, che, nel caso di un piano infinito di carica nel vuoto, è pari a

$$E=\frac{\left|\sigma\right|}{2\epsilon_0}$$

dunque:

$$E=\frac{F_e}{q}$$

da cui:

$$F_e=Eq=\frac{\left|\sigma\right|}{2\epsilon_0}\left|q\right|$$

(mettiamo il valore assoluto perché ci interessa il modulo).
Sostituisco quanto appena trovato nella relazione che esprime il valore dell’accelerazione:

$$a=\frac{\frac{\left|\sigma q\right|}{2\epsilon_0}-mg}{m}
=
\frac{\left|\sigma q\right|}{2\epsilon_0m}-g
=$$

$$\frac{4,1\times10^{-7}\frac{C}{m^2}\times670\times10^{-9}C}{2\times8,854\times10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}\times2,5\times10^{-3}kg}+$$

$$-9,8\frac{m}{s^2}=-3,6\frac{m}{s^2}
$$

Il segno “-“ indica che l’accelerazione è rivolta verso il basso (e dunque verso il piano).
Determino ora il tempo che impiega la pallina per cadere sul piano partendo dalla legge oraria del moto uniformemente accelerato:

$$h=h_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$$

Imponendo $h_0=0$, ricordando che la pallina parte da ferma ($v_0=0$) e tenendo conto che nel sistema di riferimento che abbiamo adottato $h=-78cm$, ho che:

$$h=\frac{1}{2}at^2$$

da cui:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{a}}
=
\sqrt{\frac{2\times(-0,78m)}{-3,6\frac{m}{s^2}}}
=0,66s$$

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