Una sferetta di massa m1 e carica q appesa
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Una sferetta di massa m1 e carica q appesa a un filo, in presenza di un campo elettrico orizzontale uniforme ha una posizione di equilibrio tale che il filo è inclinato di 30° rispetto alla direzione verticale. Quando si sostituisce la sferetta con una seconda sferetta, di uguale carica q e massa m2, quest’ultima è in equilibrio quando il filo forma con la verticale un angolo di 60°. Calcola il rapporto tra le masse delle due sferette.
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è una sferetta di massa m1 e carica q appesa a un filo. Sostituendola con una seconda sfera di uguale carica l’angolo con che si forma con la verticale raddoppia in virtù della diversa massa. Essendo il sistema in equilibrio, la risoluzione consiste esclusivamente nell’instaurare delle relazioni di uguaglianza lungo asse x e asse y. Una volta che siamo riusciti a esprimere le due masse in funzione dell’angolo, ci basterà infatti eseguire il rapporto e fare i calcoli. Nulla di complicato.
Risoluzione dell’Esercizio:
Essendo il sistema in equilibrio ho che, in generale:
$$T_x=F_e,(1)$$
$$T_y=F_P=mg,(2)$$
che posso scrivere come:
$$T\cos\theta=mg$$
Conoscendo la definizione di campo elettrico posso scrivere la forza elettrica come:
$$E=\frac{F_{e}}{q}$$
da cui:
$$F_{e}=Eq$$
Dunque la relazione di equilibrio $(1)$ scritta prima diventa:
$$T\sin\theta=Eq$$
da cui:
$$T=\frac{Eq}{\sin\theta},(3)$$
Scrivo ora la formula che esprima la massa in funzione delle altre grandezze sostituendo la $(3)$ nella $(2)$:
$$\frac{Eq}{\sin\theta}\cos\theta=mg$$
da cui:
$$m
=
\frac{Eq}{g}\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{Eq}{g\tan\theta}$$
Essendo questa relazione generale (la tensione del filo è sempre la stessa poiché il filo è il medesimo; $q_1=q_2=q$), deve valere sia nel caso in cui il filo sia inclinato di 30° sia nel caso in cui sia inclinato di 60°, perciò:
$$m_1
=
\frac{Eq}{g\tan\theta_1}$$
e
$$m_2
=
\frac{Eq}{g\tan\theta_2}$$
Il rapporto tra le masse sarà dunque pari a:
$$\frac{m_1}{m_2}
=
\frac
{\frac{Eq}{g\tan\theta_1}}
{\frac{Eq}{g\tan\theta_2}}
=
\frac{\tan\theta_2}{\tan\theta_1}
=\frac{\tan(60^\circ)}{\tan(30^\circ)}
=3$$
