Una carica di 20.2 μC è vincolata nell’origine
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Una carica di 20.2 μC è vincolata nell’origine degli assi.
1. Se una carica di -5,25 μC con massa 3,20 g, situata in quiete nel punto (0,925 m ; 1,17 m), viene lasciata libera di muoversi, qual è la sua velocità quando è a metà del suo cammino verso l’origine degli assi?
2. Supponi che la carica di -5,25 μC sia liberata nel punto di coordinate x = 1/2(0,925 m) e y = 1/2 (1,17 m). Quando è a metà strada rispetto all’origine degli assi, la sua velocità sarà maggiore, minore o uguale a quella calcolata nel punto a)? Giustifica la risposta.
3. Determina la velocità della carica nella situazione descritta nel punto b).
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è una carica di 20.2 μC che è vincolata nell’origine degli assi. Posizionando una seconda carica ad una certa distanza d, ferma ma libera di muoversi, possiamo determinare la velocità con cui si muove a metà del suo cammino verso l’origine degli assi applicando la conservazione dell’energia totale. Instaurata la relazione è sufficiente poi esplicitare la grandezza di nostro interesse e fare i calcoli. Osservando la formula risolutiva che deriva dai precedenti passaggi, è ipotizzabile che, se la distanza iniziale dovesse diminuire, la velocità aumenti (i calcoli ci daranno conferma o meno).
Risoluzione dell’Esercizio:
Determino la distanza della carica di -5,25 μC dall’origine degli assi applicando il teorema di Pitagora:
$$d=\sqrt{(0,925m)^2+(1,17m)^2}=1,49m$$
So che l’energia totale di una carica elettrica si conserva, perciò:
$$K_f+U_f=K_0+U_0$$
ovvero:
$$K_f-K_0 = U_0-U_f$$
che è come scrivere:
$$\Delta K=-\Delta U$$
da cui:
$$\frac{1}{2}m(v_f^2-v_0^2)=k_0qQ\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{\frac{d}{2}}\right)$$
ovvero:
$$\frac{1}{2}m(v_f^2-v_0^2)=k_0qQ\left(\frac{1}{d}-\frac{2}{d}\right)$$
Sapendo che parte in quiete ($v_0=0$) posso esplicitare la velocità finale come:
$$v_f=\sqrt{\frac{2k_0qQ}{m}\left(\frac{1}{d}-\frac{2}{d}\right)}=$$
$$=\sqrt{…}=20,0\frac{m}{s}$$
(i calcoli non sono riportati per motivi di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
Al diminuire della distanza l’energia potenziale aumenta in modulo, inoltre dalla formula scritta in sopra che esprime la velocità finale posso notare che, a parità di altre grandezze, vi è una relazione di proporzionalità inversa con la distanza $d$. Ipotizzo dunque che nel caso descritto al secondo punto la velocità aumenti.
Verifico. Determino la nuova distanza della carica di -5,25 μC dall’origine degli assi applicando il teorema di Pitagora:
$$d_2=\sqrt{(0,5\times0,925)^2+(0,5\times1,17)^2}m$$
$$=0,746m$$
Dunque la velocità finale in questo secondo caso è pari a:
$$v_{f_2}=\sqrt{
\frac{2k_0qQ}{m}\left(\frac{1}{d_2}-\frac{2}{d_2}\right)}=$$
$$=\sqrt{…}=28,3\frac{m}{s}$$
(i calcoli non sono riportati per motivi di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
L’ipotesi effettuata era perciò corretta.
