Esercizio

MATERIA – FISICA

Tre cariche sono poste nei vertici di un triangolo

Tre cariche sono poste nei vertici di un triangolo

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

Tre cariche sono poste nei vertici di un triangolo equilatero, come mostrato in figura. 
1. Calcola il potenziale elettrico nel punto P.
2. Supponi che le tre cariche siano vincolate nella posizione occupata e che una quarta carica di + 6,11 μC e di massa 4,71 g venga lasciata libera nel punto P, in quiete. Qual è la velocità della quarta carica, quando si trova infinitamente lontana dalle altre tre cariche?

Introduzione all’Argomento:

L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio vi sono tre cariche poste nei vertici di un triangolo equilatero, come mostrato in figura. Determiniamo il potenziale elettrico nel punto P applicando il principio di sovrapposizione, sommando cioè i singoli potenziali dovuti alle cariche. Collocando poi una quarta carica libera di muoversi e ricordando che vale la conservazione dell’energia totale di carica, possiamo imporre una semplice relazione di uguaglianza, da cui ricavare il valore della velocità finale.

Risoluzione dell’Esercizio:

Determino la distanza della carica 1 posta nel vertice superiore rispetto a P applicando il teorema di Pitagora:

$$d_1=\sqrt{(1,25m)^2-(0,625m)^2}=1,08m$$

Calcolo ora il potenziale elettrico in $P$ ricordando che vale il principio di sovrapposizione:

$$V_{tot}=V_1+V_2+V_3=$$

$$=k_0\frac{q_1}{d_1}+k_0\frac{q_2}{d_2}+k_0\frac{q_3}{d_3}
=$$

$$=k_0\left(\frac{q_1}{d_1}+\frac{q_2}{d_2}+\frac{q_3}{d_3}\right)
=$$

$$=8,988\times10^9\frac{Nm^2}{C^2}
\times
\Biggl(\frac{7,45\times10^{-6}C}{1,08m}+$$

$$+\frac{2,75\times10^{-6}C}{0,625m}+\frac{-1,72\times10^{-6}C}{0,625m}\Biggr)
=$$

$$=
7,68\times10^4V=76,8kV$$

Vincolando le tre cariche presenti e collocandone una quarta nel punto P in quiete, quest’ultima avrebbe un’energia potenziale apri a:

$$U=q_4V=$$

$$=6,11\times10^{-6}C\times7,68\times10^4V=0,47J$$

Sapendo che vale la conservazione dell’energia totale e ricordando che, a distanza infinita, tutta l’energia potenziale iniziale si trasforma in energia cinetica, ho che:

$$K_f=U_0=0,47J$$

Per definizione, l’energia cinetica è data da:

$$K_f=\frac{1}{2}mv_f^2$$

da cui ricavo che la velocità della quarta carica è pari a:

$$v_f=\sqrt{\frac{2K_f}{m}}=$$

$$=\sqrt{\frac{2\times0,47J}{4,71\times10^{-3}kg}}=14,1\frac{m}{s}$$

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