La figura mostra un elettrone che entra in un
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
La figura mostra un elettrone che entra in un condensatore a facce piane e parallele con una velocità di 5,45 x 10^6 m/s. Quando l’elettrone esce dal condensatore, il campo elettrico di quest’ultimo lo ha deflesso verso il basso di 0,618 cm. Determina:
1. L’intensità del campo elettrico nel condensatore;
2. La velocità dell’elettrone quando esce dal condensatore.
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio la figura mostra un elettrone che entra in un condensatore a facce piane e parallele con una velocità di 5,45 x 10^6 m/s. All’interno del condensatore la particella è immersa in un campo elettrico che genera una certa forza diretta verso il basso (l’elettrone è caricato negativamente dunque la forza elettrica ha verso opposto a quello del campo elettrico). La particella compie dunque un moto parabolico. Stabilito ciò risolviamo l’esercizio mixando le formule che consociamo dei due argomenti: dapprima calcoliamo il tempo necessario per uscire dal condensatore, poi determiniamo l’accelerazione e il campo elettrico, e infine otteniamo il modulo della velocità finale applicando il teorema di Pitagora.
Risoluzione dell’Esercizio:
All’interno del condensatore la particella è immersa in un campo elettrico che genera una certa forza diretta verso il basso (l’elettrone è caricato negativamente dunque la forza elettrica ha verso opposto a quello del campo elettrico). La particella compie dunque un moto parabolico, che è dato dalla composizione di un moto orizzontale rettilineo uniforme e uno verticale uniformemente accelerato. Impongo come verso positivo dell’asse y quello che va verso il basso.
Determino il tempo necessario per uscire dal condensatore applicando l’equazione oraria lungo l’asse x:
$$x=v_0t$$
da cui:
$$t=\frac{x}{v_0}=\frac{2,25\times10^{-2}m}{5,45\times10^6\frac{m}{s}}=4,13\times10^{-9}s$$
Sostituisco il valore appena trovato nell’equazione oraria verticale:
$$y=v_{0_y}t+\frac{1}{2}at^2$$
ricordando che la velocità iniziale è nulla:
$$y=\frac{1}{2}at^2$$
da cui:
$$a=\frac{2y}{t^2}=$$
$$=\frac{2\times0,618\times10^{-2}m}{(4,13\times10^{-9}s)^2}=7,25\times10^{14}\frac{m}{s^2}$$
Determino ora l’intensità del campo elettrico applicando il secondo principio della dinamica e ricordando che $F_e=Eq$:
$$F_P+F_e=ma$$
ovvero:
$$mg+Eq=ma$$
da cui:
$$E=\frac{m(a-g)}{q}=\frac{9,11\times10^{-31}kg\times}{-1,6\times10^{-19}C}$$
$$\frac{\times(7,25\times10^{14}-9,8)\frac{m}{s^2}}{…}=-4,13\times10^3\frac{N}{C}$$
Il segno indica che il campo elettrico è diretto verso l’alto (abbiamo imposto come verso positivo dell’asse y quello verso il basso).
E’ importante notare che l’accelerazione $a$ è talmente più grande rispetto a quella gravitazionale che si potrebbe anche trascurare la forza peso e il risultato non cambierebbe.
Determino ora la velocità con cui l’elettrone esce dal condensatore: orizzontalmente la velocità rimane costante ($v_{f_x}=$$v_0=5,45\times10^6\frac{m}{s}$) e coincide con quella iniziale, mentre verticalmente calcolo la velocità finale utilizzando la legge della velocità:
$$v_{f_y}=at=7,25\times10^{14}\frac{m}{s^2}\times$$
$$\times4,13\times10^{-9}s=3,0\times10^6\frac{m}{s}$$
Calcolo ora il modulo della velocità finale applicando il teorema di Pitagora:
$$v_f=\sqrt{v_{f_x}^2+v_{f_y}^2}=$$
$$=\sqrt{\left(5,45\times10^6\frac{m}{s}\right)^2
+
\left(3,0\times10^6\frac{m}{s}\right)^2}$$
$$=6,22\times10^6\frac{m}{s}$$
