Le armature di un condensatore a facce piane parallele
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Le armature di un condensatore a facce piane parallele hanno un’area di 405 cm2 e sono separate da uno spazio pieno d’aria spesso 2,25 mm. Il condensatore è caricato da una batteria da 575 V che, al termine della carica, viene scollegata.
1. Quanta energia è accumulata nel condensatore?
2. Se la distanza tra le armature fosse raddoppiata, cioè fosse 4,50 mm, a parità di carica quanta energia sarebbe accumulata nel condensatore?
3. Quale sarebbe il lavoro necessario per aumentare la distanza tra le armature da 2,25 mm a 4,50 mm?
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio le armature di un condensatore a facce piane parallele hanno un’area di 405 cm2. Calcoliamo la capacità del condensatore applicando l’apposita formula, dopodiché determiniamo l’energia accumulata all’interno di esso applicandone la definizione. Osserviamo poi che raddoppiando la distanza tra le armature, la capacità dimezza e, di conseguenza, a parità di carica, la tensione raddoppia, così come l’energia accumulata. Concludiamo infine ricordando che il lavoro necessario per aumentare la distanza tra le armature corrisponde alla variazione di energia, in quanto è come se fornissimo l’energia per effettuare lo spostamento.
Risoluzione dell’Esercizio:
Determino la capacità del condensatore applicando l’apposita formula:
$$C=\epsilon_0\epsilon_r\frac{A}{d}
=
8,854\times10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}\times$$
$$\times1,00059\times\frac{405\times10^{-4}m^2}{2,25\times10^{-3}m
}
=$$
$$=
1,59\times10^{-10}F$$
Ora che ho tutte le grandezze necessarie, calcolo l’energia accumulata nel condensatore applicando la definizione:
$$U=\frac{1}{2}C(\Delta V)^2
=
\frac{1}{2}\times1,59\times10^{-10}F \times$$
$$\times(575V)^2=
2,63\times10^{-5}J$$
Qualora la distanza tra le armature fosse raddoppiata, avremmo una capacità dimezzata:
$$C_2=\epsilon_0\epsilon_r\frac{A}{2d}
=
\frac{C}{2}
=
0,8\times10^{-10}F,(1)$$
Dal momento che la carica deve rimanere costante $\left(Q=C\Delta V\right)$, la tensione dovrà valere:
$$C_1\Delta V_1=C_2\Delta V_2$$
sostituendo la $(1)$ ed esplicitando rispetto a $\Delta V_2$ ottengo:
$$\Delta V_2=2\Delta V_1$$
Perciò l’energia accumulata in questo caso è pari a:
$$U_2=\frac{1}{2}C_2(\Delta V_2)^2
=
\frac{1}{2}\frac{C_1}{2}(2\Delta V_1)^2
=$$
$$=
\frac{1}{2}\frac{C_1}{2}4(\Delta V_1)^2
=
2\left(\frac{1}{2}C_1(\Delta V_1)^2\right)
=$$
$$=2U_1
=
2\times2,63\times10^{-5}J=5,26\times10^{-5}J$$
La variazione di energia corrisponde al lavoro necessario per aumentare la distanza tra le armature (è come se fornissi l’energia per effettuare questo spostamento), perciò:
$$L=5,26\times10^{-5}J-2,63\times10^{-5}J=$$
$$=2,63\times10^{-5}J$$
