Due cariche puntiformi +2q e +5q sono separate
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Due cariche puntiformi, +2q e +5q, sono separate da una distanza d. Determina la posizione, il segno e il valore di una terza carica puntiforme in modo che sia nulla la forza elettrica risultante per ognuna delle tre cariche.
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi sono due cariche puntiformi +2q e +5q che sono separate di una distanza d. Se volessimo aggiungere una terza carica in modo da annullare la forza elettrica risultante per ognuna delle tre particelle, essa dovrebbe essere negativa e dovrebbe trovarsi nella regione di spazio B (v. rappresentazione grafica). A questo punto analizzo le forze che agiscono e instauro delle relazioni di uguaglianza dalle quali poter esplicitare sia il valore della carica q3 sia la posizione x della terza carica. Ottenuti i risultati compiamo un’ulteriore verifica numerica per essere più sicuri della correttezza dell’esercizio.
Risoluzione dell’Esercizio:
Determino in quale parte dovrà trovarsi la terza carica e il segno che dovrà avere per soddisfare la richiesta del quesito.
Regione A: se la carica fosse positiva avremmo una forza risultante sulla carica posta in  che sarebbe data da due forze elettriche con egual direzione e egual verso e sarebbe dunque possibile ottenere una forza totale nulla. Se la carica fosse negativa, lo stesso discorso varrebbe per quella posta in .
Regione C: vale un discorso analogo a quello precedente.
Regione B: se la carica fosse positiva, le prime due sarebbero sottoposte a due forze aventi ugual verso e non avremmo perciò una risultante nulla. Se invece fosse negativa, si creerebbero delle forze attrattive che potrebbero equilibrare quelle repulsive dovute all’interazione tra le prime due cariche.
Dunque, posso affermare che la terza carica avrà segno negativo e sarà collocata tra le prime due cariche puntiformi.
Sia $x$Â la posizione della terza carica rispetto alla prima.
Analizzo le forze agenti sulla prima carica:
$$F_{31}-F_{21}=0$$
ovvero:
$$k_0\left(\frac{q_1|q_3|}{x^2}-\frac{q_1q_2}{d^2}\right)
=0$$
semplificando e sostituendo i valori di cui dispongo ottengo:
$$|q_3|=\frac{5q}{d^2}x^2,(1)$$
Analizzo le forze agenti sulla seconda carica:
$$F_{12}-F_{32}=0$$
ovvero:
$$k_0\left(\frac{q_1q_2}{d^2}-
\frac{|q_3|q_2}{(d-x)^2}\right)
=0$$
semplificando e sostituendo i valori numerici ottengo:
$$|q_3|=\frac{2q}{d^2}(d-x)^2,(2)$$
Sottraggo membro a membro la $(1)$ e la $(2)$:
$$|q_3|-|q_3|=\frac{5q}{d^2}x^2-\frac{2q}{d^2}(d-x)^2$$
ovvero:
$$0=\frac{q}{d^2}(5x^2-2(d-x)^2)$$
semplificando:
$$5x^2-2(d-x)^2=0$$
da cui:
$$3x^2+4dx-2d^2=0$$
risolvendo l’equazione di secondo grado ottengo:
$$x=-1,72d$$
(non accettabile perché non appartiene alla regione B)Â
$$x=0,387d\approx0,39d$$
(accettabile)
Dunque, la terza carica va collocata nella posizione $x=0,39d$.
Sostituisco il valore appena trovato nella $(1)$ e determino il modulo della carica $q_3$:
$$|q_3|=\frac{5q}{d^2}x^2
=
\frac{5q}{d^2}(0,387d)^2
=$$
$$=
5q\times0,39^2=0,75q$$
Ricordando che la carica deve essere negativa:
$$q_3=-0,75q$$
Verifico che con i valori totali anche la risultante sulla terza carica sia nulla:
$$F_{tot_3}=F_{23}-F_{13}
=
k_0\frac{q_2|q_3|}{(d-0,39d)^2}-$$
$$k_0\frac{q_1|q_3|}{0,39d^2}
=
k_0
\left(\frac{3,75q^2}{0,61^2d^2}-\frac{1,5q^2}{0,39^2d^2}
\right)
=$$
$$=
k_0\frac{q^2}{d^2}
\left(\frac{3,75}{0,61^2}-\frac{1,5}{0,39^2}\right)
\approx0$$
Il risultato della sottrazione non è perfettamente 0; ciò è dovuto al fatto che i valori riportati sono frutto di approssimazioni per eccesso o difetto.
