Esercizio

MATERIA – FISICA

In una fontana si convoglia acqua alla velocità

In una fontana si convoglia acqua alla velocità

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

In una fontana si convoglia acqua alla velocità di 0,24 m/s in un condotta orizzontale con sezione di diametro 1,2 m che si restringe progressivamente. All’uscita, il diametro vale 16 cm. Sapendo che il getto d’acqua è espulso dall’altezza di 2,8 m e assumendo che l’acqua non si disperda, a quale distanza dalla base cade il getto?

Introduzione all’Argomento:

La fluidodinamica è la branca della meccanica dei fluidi che studia il moto dei fluidi e le cause che lo determinano. Essa si contrappone alla fluidostatica, pertanto è necessario introdurre nuovi concetti e nuove formule per risolvere gli esercizi (es. equazione di Bernoulli, equazione di continuità,…) e determinare le diverse proprietà del fluido che si sta analizzando (tra cui la velocità, la pressione, la densità o la temperatura). Per quanto possa sembrare “lontana” dalla nostra esperienza quotidiana, in realtà la fluidodinamica è una materia estremamente presente che ci aiuta a comprendere numerosi aspetti di idraulica, aerodinamica e discipline simili in cui ci imbattiamo ogni giorno.

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio vi è una fontana in cui si convoglia acqua alla velocità di 0,24 m/s. Determiniamo innanzitutto la velocità dell’acqua all’uscita della condotta applicando l’equazione di continuità. Sapendo che, una volta fuoriuscito dal foro, il getto compie un moto parabolico, determiniamo tempo di caduta e gittata applicando le opportune formule studiate negli anni precedenti (sarà necessario ricordarsi le equazioni orarie relative ai moti rettilinei uniformi e uniformemente accelerati).

Risoluzione dell’Esercizio:

Determino la velocità dell’acqua all’uscita applicando l’equazione di continuità:

$$S_1v_1=S_2v_2$$

ovvero:

$$\pi r_1^2v_1=\pi r_2^2v_2$$

da cui:

$$v_2=\frac{r_1^2}{r_2^2}v_1
=
\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2v_1
=$$

$$=\left(\frac{0,6m}{8\times10^{-2}m}\right)^2\times0,24\frac{m}{s}
=
13,5\frac{m}{s}$$

So che, una volta fuoriuscito, il getto d’acqua subisce l’accelerazione gravitazionale e descriverà perciò un moto parabolico con velocità iniziale orizzontale.
Ricordo che il moto parabolico è costituito da un moto verticale (uniformemente accelerato) e uno orizzontale (rettilineo uniforme).

Determino il tempo impiegato per giungere a terra utilizzando la legge oraria del moto uniformemente accelerato:

$$h_{suolo}=v_{0_y}+\frac{1}{2}gt^2$$

ricordando che la velocità iniziale è orizzontale:

$$h_{suolo}=
\frac{1}{2}gt^2$$

da cui:

$$t=\sqrt{\frac{2h_{suolo}}{g}}=\sqrt{\frac{2\times2,8m}{9,8\frac{m}{s^2}}}=0,76s$$

Sostituisco il valore appena trovato nella equazione oraria del moto orizzontale e determino così la distanza a cui cade il getto rispetto alla base:

$$x=v_{0_x}t=v_0t=$$

$$=13,5\frac{m}{s}\times0,76s
=
10,26m$$

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