In una fontana si convoglia acqua alla velocità
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
In una fontana si convoglia acqua alla velocità di 0,24 m/s in un condotta orizzontale con sezione di diametro 1,2 m che si restringe progressivamente. All’uscita, il diametro vale 16 cm. Sapendo che il getto d’acqua è espulso dall’altezza di 2,8 m e assumendo che l’acqua non si disperda, a quale distanza dalla base cade il getto?
Introduzione all’Argomento:
La fluidodinamica è la branca della meccanica dei fluidi che studia il moto dei fluidi e le cause che lo determinano. Essa si contrappone alla fluidostatica, pertanto è necessario introdurre nuovi concetti e nuove formule per risolvere gli esercizi (es. equazione di Bernoulli, equazione di continuità,…) e determinare le diverse proprietà del fluido che si sta analizzando (tra cui la velocità, la pressione, la densità o la temperatura). Per quanto possa sembrare “lontana” dalla nostra esperienza quotidiana, in realtà la fluidodinamica è una materia estremamente presente che ci aiuta a comprendere numerosi aspetti di idraulica, aerodinamica e discipline simili in cui ci imbattiamo ogni giorno.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è una fontana in cui si convoglia acqua alla velocità di 0,24 m/s. Determiniamo innanzitutto la velocità dell’acqua all’uscita della condotta applicando l’equazione di continuità. Sapendo che, una volta fuoriuscito dal foro, il getto compie un moto parabolico, determiniamo tempo di caduta e gittata applicando le opportune formule studiate negli anni precedenti (sarà necessario ricordarsi le equazioni orarie relative ai moti rettilinei uniformi e uniformemente accelerati).
Risoluzione dell’Esercizio:
Determino la velocità dell’acqua all’uscita applicando l’equazione di continuità:
$$S_1v_1=S_2v_2$$
ovvero:
$$\pi r_1^2v_1=\pi r_2^2v_2$$
da cui:
$$v_2=\frac{r_1^2}{r_2^2}v_1
=
\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2v_1
=$$
$$=\left(\frac{0,6m}{8\times10^{-2}m}\right)^2\times0,24\frac{m}{s}
=
13,5\frac{m}{s}$$
So che, una volta fuoriuscito, il getto d’acqua subisce l’accelerazione gravitazionale e descriverà perciò un moto parabolico con velocità iniziale orizzontale.
Ricordo che il moto parabolico è costituito da un moto verticale (uniformemente accelerato) e uno orizzontale (rettilineo uniforme).
Determino il tempo impiegato per giungere a terra utilizzando la legge oraria del moto uniformemente accelerato:
$$h_{suolo}=v_{0_y}+\frac{1}{2}gt^2$$
ricordando che la velocità iniziale è orizzontale:
$$h_{suolo}=
\frac{1}{2}gt^2$$
da cui:
$$t=\sqrt{\frac{2h_{suolo}}{g}}=\sqrt{\frac{2\times2,8m}{9,8\frac{m}{s^2}}}=0,76s$$
Sostituisco il valore appena trovato nella equazione oraria del moto orizzontale e determino così la distanza a cui cade il getto rispetto alla base:
$$x=v_{0_x}t=v_0t=$$
$$=13,5\frac{m}{s}\times0,76s
=
10,26m$$