Esercizio

MATERIA – FISICA

Una cisterna il cui fondo è a una altezza

Una cisterna il cui fondo è a una altezza

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

Una cisterna il cui fondo è a una altezza di 15,0 m da terra è riempita di acqua fino a un livello di 4,50 m. A 0,500 m dal fondo, sulla superficie laterale della cisterna, si apre una fessura da cui fuoriesce l’acqua. Determina la velocità di uscita dell’acqua e la gittata del getto.

Introduzione all’Argomento:

La fluidodinamica è la branca della meccanica dei fluidi che studia il moto dei fluidi e le cause che lo determinano. Essa si contrappone alla fluidostatica, pertanto è necessario introdurre nuovi concetti e nuove formule per risolvere gli esercizi (es. equazione di Bernoulli, equazione di continuità,…) e determinare le diverse proprietà del fluido che si sta analizzando (tra cui la velocità, la pressione, la densità o la temperatura). Per quanto possa sembrare “lontana” dalla nostra esperienza quotidiana, in realtà la fluidodinamica è una materia estremamente presente che ci aiuta a comprendere numerosi aspetti di idraulica, aerodinamica e discipline simili in cui ci imbattiamo ogni giorno.

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio vi è una cisterna il cui fondo è a una altezza di 15,0 m da terra. Determiniamo innanzitutto l’altezza del foro rispetto alla superficie dell’acqua, dopodiché calcoliamo la velocità di uscita dell’acqua applicando la legge di Torricelli. Sapendo che, una volta fuoriuscito dal foro, il getto compie un moto parabolico, determiniamo tempo di caduta e gittata applicando le opportune formule studiate negli anni precedenti (sarà necessario ricordarsi le equazioni orarie relative ai moti rettilinei uniformi e uniformemente accelerati).

Risoluzione dell’Esercizio:

Calcolo l’altezza del foto rispetto alla superficie dell’acqua:

$$h_{foro}=(4,50-0,500)m=4,00m$$

Determino ora la velocità di uscita dell’acqua applicando la legge di Torricelli:

$$v=\sqrt{2gh_{foro}}=$$

$$=\sqrt{
2\times9,8\frac{m}{s^2}\times4,0m}=8,85\frac{m}{s}$$

So che, una volta fuoriuscita dal foro, il getto d’acqua subisce l’accelerazione gravitazionale e descriverà perciò un moto parabolico con velocità iniziale orizzontale.

Ricordo che il moto parabolico è costituito da un moto verticale (uniformemente accelerato) e uno orizzontale (rettilineo uniforme).

Calcolo innanzitutto l’altezza del foro rispetto al suolo:

$$h_{suolo}=(15+0,500)m=15,5m$$

Determino il tempo impiegato per giungere a terra utilizzando la legge oraria del moto uniformemente accelerato:

$$h_{suolo}=v_{0_y}+\frac{1}{2}gt^2$$

ricordando che la velocità iniziale è orizzontale:

$$h_{suolo}=
\frac{1}{2}gt^2$$

da cui:

$$t=\sqrt{\frac{2h_{suolo}}{g}}=\sqrt{\frac{2\times15,5m}{9,8\frac{m}{s^2}}}=1,78s$$

Sostituisco il valore appena trovato nella equazione oraria del moto orizzontale e determino così la gittata del getto:

$$x=v_{0_x}t=v_0t=$$

$$=8,85\frac{m}{s}\times1,78s
=
15,75m$$

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