Vogliamo costruire due termometri, uno a mercurio
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Vogliamo costruire due termometri, uno a mercurio (αHg = 0,180 x 10^-3 °C^-1) e uno ad alcool (αalcool = 1,01 x 10^-3 °C^-1), utilizzando due capillari di vetro di forma identica. I bulbi dei due termometri vengono riempiti completamente con 8,30 mm3 di liquido inizialmente alla temperatura di 10,0 °C. I capillari hanno un diametro interno d = 8,80 x 10^-3 cm e ha una lunghezza h = 7,50 cm. Trascurando la dilatazione del vetro, calcola il valore massimo che possono misurare i due termometri.
Introduzione all’Argomento:
Temperatura, pressione e volume sono tre grandezza fondamentali nello studio dei gas. All’interno di questa sezione si studiano infatti trasformazioni di diverso tipo: isocore (volume costante), isoterme (temperatura costante) e isobare (pressione costante). Si distinguono poi i cosiddetti gas perfetti, ovvero quelle sostanze che obbediscono esattamente alle due leggi di Gay-Lussac e a quella di Boyle, dei quali va analizzata l’equazione di stato, e i gas reali, che possono muoversi solamente nel volume lasciato libero dalle altre molecole. Le medesime considerazioni che vengono fatte dal punto di vista macroscopico possono poi essere applicate, con le opportune accortezze e i consueti aggiustamenti, al mondo microscopico.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vogliamo costruire due termometri, uno a mercurio e uno ad alcool, utilizzando due capillari di vetro di forma identica. Ragionando, capiamo che il valore massimo misurabile dal singolo termometro si ha quando si riempie l’intera lunghezza del capillare. Ciò significa che il liquido presente nel bulbo subisce una variazione volumica pari al volume del capillare. Applichiamo dunque la formula della dilatazione volumica ed instauriamo una relazione che esprime la variazione delle temperatura in funzione del volume iniziale, del raggio e dell’altezza del capillare. Sostituendo i valori numerici di cui disponiamo, calcoliamo dapprima la temperatura massima nel termometro a mercurio e poi in quello ad alcool.
Risoluzione dell’Esercizio:
Il valore massimo misurabile dal singolo termometro si ha quando si riempie l’intera lunghezza del capillare, ovvero quando il liquido presente nel bulbo subisce una variazione volumica pari al volume del capillare:
$$\Delta V=V_{capillare}=A_{b}h=\pi r^2h$$
Applico ora la formula della dilatazione volumica:
$$\Delta V=V_i\alpha\Delta T$$
da cui ricavo la variazione di temperatura:
$$\Delta T
=
\frac{\Delta V}{V_i\alpha}
=
\frac{\pi r^2h}{V_i\alpha}$$
Nel termometro con il mercurio:
$$\Delta T_{Hg}
=$$
$$=\frac
{\pi\times (4,40\times10^{-5}m)^2\times7,50\times10^{-2}m}
{8,30\times10^{-9}m^3\times0,180\times10^{-3}{}^\circ C^{-1}}
=$$
$$=305^\circ C$$
E quindi la temperatura massima sarà di:
$$\Delta T=T_{max}-T_0$$
da cui:
$$T_{max}=\Delta T+T_0=(305+10)^\circ C
=
315^\circ C$$
Analogamente, nel termometro con l’alcool:
$$\Delta T_{alcool}
=$$
$$=\frac
{\pi\times (4,40\times10^{-5}m)^2\times7,50\times10^{-2}m}
{8,30\times10^{-9}m^3\times1,01\times10^{-3}{}^\circ C^{-1}}
=$$
$$=54^\circ C$$
E quindi la temperatura massima sarà di:
$$\Delta T=T_{max}-T_0$$
da cui:
$$T_{max}=\Delta T+T_0=(54+10)^\circ C
=
64^\circ C$$
È possibile che il testo riporti una soluzione differente (60 °C). Ciò è dovuto al fatto che probabilmente vi è stato un refuso durante la trascrizione del coefficiente di dilatazione volumica dell’alcool. Se consideriamo l’alcool etilico (detto anche etanolo) esso ammonterebbe infatti a $\alpha_{alcool}=1,1\times10^{-3}{}^\circ C^{-1}$ e dunque avremmo la temperatura di:
$$\Delta T_{alcool}
=$$
$$=\frac
{\pi\times (4,40\times10^{-5}m)^2\times7,50\times10^{-2}m}
{8,30\times10^{-9}m^3\times1,1\times10^{-3}{}^\circ C^{-1}}
=$$
$$=50^\circ C$$
da cui:
$$T_{max}=\Delta T+T_0=(50+10)^\circ C
=
60^\circ C$$
