La distanza media tra la Terra e la Luna è
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
La distanza media tra la Terra e la Luna è pari a 3,84 x 10^5 km. Sapendo che la massa della terra è pari a 5,972 x 10^24 kg e la massa della luna è pari a 7,35 x 10^22 kg, in quale punto il campo gravitazionale complessivo generato dai due corpi sarà nullo?
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci viene detto che la distanza media tra la Terra e la Luna è pari a 3,84 x 10^5 km. Conoscendo la formula generale del campo gravitazionale di un corpo celeste, possiamo scrivere quella che esprime il campo gravitazionale complessivo generato dai due corpi. Essendo la forza gravitazionale sempre di tipo attrattivo, esso sarà dato dalla differenza tra i singoli campi. Imponiamo ora che esso sia nullo. Da qui ricaviamo un’equazione di secondo grado in x (distanza del punto dalla Terra) le cui soluzioni, qualora fossero accettabili, rappresentano la soluzione al quesito.
Risoluzione dell’Esercizio:
Scrivo la formula generale per determinare il campo gravitazionale:
$$g
=
G\frac{M}{d^2}$$
Il campo gravitazionale complessivo generato dai due corpi è dato dalla differenza tra i singoli campo in quanto la forza gravitazionale è sempre di tipo attrattivo:
$$g_{tot}=g_{T}-g_{L}
=
G\left(\frac{M_T}{d_T^2}-\frac{M_L}{d_L^2}\right)$$
Impongo che esso sia nullo:
$$G\left(\frac{M_T}{d_T^2}-\frac{M_L}{d_L^2}\right)
=
0$$
da cui:
$$\frac{M_T}{d_T^2}=\frac{M_L}{d_L^2}$$
Sia $x$ la distanza del punto dalla Terra (il punto è compreso tra la Terra e la Luna); avrò che:
$$d_T=x$$
e
$$d_L=d-x=3,84\times10^8m-x$$
Perciò posso riscrivere la relazione precedente come:
$$\frac{M_T}{x^2}=\frac{M_L}{(d-x)^2}$$
risolvendo tramite opportuni passaggi matematici ottengo:
$$(M_T-M_L)x^2-2M_Tdx+M_Td^2=0$$
sostituendo i valori numerici (non trascrivo le unità di misura per non appesantire la scrittura):
$$(5,972\times10^{24}-7,35\times10^{22})x^2-$$
$$2\times5,972\times10^{24}\times3,84\times10^8x+$$
$$5,972\times10^{24}\times(3,84\times10^8)^2=0$$
ovvero:
$$5,90\times10^{24}x^2-4,59\times10^{33}x+$$
$$+8,81\times10^{41}=0$$
risolvendo l’equazione ottengo:
$$x=4,34\times10^8m$$
(non accettabile in quanto superiore alla distanza Terra-Luna)
$$x=3,44\times10^8m=34,4\times10^4km$$
Dunque il campo gravitazionale complessivo generato dai due corpi sarà nullo nel punto che dista $34,4\times10^4km$ dalla Terra.
