Esercizio

MATERIA – FISICA

Un palloncino gonfiato con elio contiene N

Un palloncino gonfiato con elio contiene N

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

Un palloncino gonfiato con elio contiene N molecole di massa 6,64 x 10^-27 kg alla temperatura di 293 K. Calcola la percentuale di molecole di elio che hanno velocità compresa tra i 1000 m/s e i 1008 m/s.

Introduzione all’Argomento:

Temperatura, pressione e volume sono tre grandezza fondamentali nello studio dei gas. All’interno di questa sezione si studiano infatti trasformazioni di diverso tipo: isocore (volume costante), isoterme (temperatura costante) e isobare (pressione costante). Si distinguono poi i cosiddetti gas perfetti, ovvero quelle sostanze che obbediscono esattamente alle due leggi di Gay-Lussac e a quella di Boyle, dei quali va analizzata l’equazione di stato, e i gas reali, che possono muoversi solamente nel volume lasciato libero dalle altre molecole. Le medesime considerazioni che vengono fatte dal punto di vista macroscopico possono poi essere applicate, con le opportune accortezze e i consueti aggiustamenti, al mondo microscopico.

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio vi è un palloncino gonfiato con elio che contiene delle molecole di massa 6,64 x 10^-27 kg alla temperatura di 293 K. Determino innanzitutto le ordinate della curva di Maxwell in corrispondenza di una velocità pari a 1000 m/s e 1008 m/s. Sapendo che il numero di molecole di elio che hanno velocità compresa tra i due valori dati dal quesito coincide numericamente con il valore dell’area sottesa dalla curva (approssimiamo a un trapezio rettangolo), determiniamo la percentuale richiesta dall’esercizio. Si tratta di un quesito concettualmente semplice, ma che comporta l’utilizzo di formule più complesse, le quali possono portare a commettere errori.

Risoluzione dell’Esercizio:

Determino le ordinate della curva di Maxwell in corrispondenza dei due valori di velocità che mi vengono assegnati. Per $v_1=1000\frac{m}{s}$:

$$y_1
=
\frac{4N}{\sqrt\pi}\left(\frac{m}{2k_bT}\right)^{\frac{3}{2}}v_1^2e^{-\frac{mv_1^2}{2k_bT}}
=\frac{4N}{\sqrt\pi}\times$$

$$\times\left(\frac
{6,64\times10^{-27}kg}{2\times1,381\times10^{-23}\frac{J}{K}\times293K}\right)
^{\frac{3}{2}}\times$$

$$\times\left(1000\frac{m}{s}\right)^2\times e^{-\frac
{6,64\times10^{-27}kg\times\left(1000\frac{m}{s}\right)^2}
{2\times1,381\times10^{-23}\frac{J}{K}\times293K}}=$$

$$=\left(7,38\times10^{-4}\frac{s}{m}\right)N$$

Per $v_2=1008\frac{m}{s}$:

$$y_2
=
\frac{4N}{\sqrt\pi}\left(\frac{m}{2k_bT}\right)^{\frac{3}{2}}v_2^2e^{-\frac{mv_2^2}{2k_bT}}
=\frac{4N}{\sqrt\pi}\times$$

$$\times\left(\frac
{6,64\times10^{-27}kg}{2\times1,381\times10^{-23}\frac{J}{K}\times293K}\right)
^{\frac{3}{2}}\times$$

$$\times\left(1008\frac{m}{s}\right)^2\times e^{-\frac{6,64\times10^{-27}kg\times\left(1008\frac{m}{s}\right)^2}
{2\times1,381\times10^{-23}\frac{J}{K}\times293K}}=$$

$$=\left(7,40\times10^{-4}\frac{s}{m}\right)N$$

So che il numero di molecole di elio che hanno velocità compresa tra i due valori dati dal quesito coincide numericamente con il valore dell’area sottesa dalla curva, la quale può essere approssimata a un trapezio rettangolo:

$$N_{compresi}
=
A_{trapezio}
=$$

$$=\frac{(y_1+y_2)(v_2-v_1)}{2}
=$$

$$=\frac{(7,40+7,38)\times10^{-4}\frac{s}{m}N\times(8)\frac{m}{s}}{2}=$$

$$=5,9\times10^{-3}N$$

Che, in percentuale, corrisponde a (rapporto tra molecole con velocità compresa e molecole totali):

$$\frac{N_{compresi}}{N_{tot}}=\frac{5,9\times10^{-3}N}{N}=$$

$$=5,9\times10^{-3}
=0,59\%$$

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