Un recipiente con un volume di 6.00 L contiene
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un recipiente con un volume di 6.00 L contiene un gas argon alla pressione di 2,18 x 10^5 Pa. L’energia cinetica media di traslazione delle molecole vale 7,81 x 10^-21 J.
1. Determina il numero di molecole contenute nel recipiente.
2. Calcola la velocità quadratica media delle molecole.
3. Determina la temperatura del gas.
Introduzione all’Argomento:
Temperatura, pressione e volume sono tre grandezza fondamentali nello studio dei gas. All’interno di questa sezione si studiano infatti trasformazioni di diverso tipo: isocore (volume costante), isoterme (temperatura costante) e isobare (pressione costante). Si distinguono poi i cosiddetti gas perfetti, ovvero quelle sostanze che obbediscono esattamente alle due leggi di Gay-Lussac e a quella di Boyle, dei quali va analizzata l’equazione di stato, e i gas reali, che possono muoversi solamente nel volume lasciato libero dalle altre molecole. Le medesime considerazioni che vengono fatte dal punto di vista macroscopico possono poi essere applicate, con le opportune accortezze e i consueti aggiustamenti, al mondo microscopico.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è un recipiente con un volume di 6,00 L che contiene gas argon ad una certa pressione. Determiniamo innanzitutto la pressione sapendo che, nel caso dei gas perfetti, essa può essere espressa in funzione della velocità quadratica media. Quest’ultima può essere a sua volta espressa in funzione dell’energia cinetica media di traslazione. Instauriamo dunque una relazione dalla quale esplicitiamo il numero di molecole N. Sapendo che la massa atomica dell’argon è di 40 u, determiniamo poi la massa di una singola molecola, così da poter calcolare quanto sia effettivamente il valore della velocità. Infine otteniamo la temperatura del gas sfruttando la relazione che la lega all’energia cinetica media.
Risoluzione dell’Esercizio:
So che la pressione di un gas perfetto può essere espressa con la seguente formula:
$$p=\frac{Nm\langle v\rangle^2}{3V}$$
Sapendo che l’energia cinetica media di traslazione è data da:
$$K_m
=
\frac{1}{2}m\langle v \rangle^2$$
da cui:
$$m\langle v\rangle^2=2K_m$$
Posso riscrivere la relazione precedente come:
$$p=\frac{2NK_m}{3V}$$
da cui ricavo che il numero di molecole contenute nel recipiente è pari a:
$$N
=
\frac{3pV}{2K_m}
=$$
$$=\frac{3\times2,18\times10^5Pa\times6,00\times10^{-3}m^3}{2\times7,81\times10^{-21}J}
=$$
$$=2,51\times10^{23}$$
Sapendo che la massa atomica dell’argon è pari a$MM_{Ar}=40u$, ho che la massa di una singola molecola è pari a:
$$m_{Ar}=MM_{Ar}\times1,6605\times10^{-27}kg
=$$
$$=40u\times1,6605\times10^{-27}kg=$$
$$=6,642\times10^{-26}kg$$
Calcolo dunque il valore della velocità quadratica media delle molecole partendo dalla definizione di energia cinetica media di traslazione:
$$K_m
=
\frac{1}{2}m\langle v \rangle^2$$
da cui:
$$\langle v\rangle=\sqrt{\frac{2K_m}{m}}=$$
$$=\sqrt{\frac
{2\times7,81\times10^{-21}J}
{6,642\times10^{-26}kg}}=485\frac{m}{s}$$
Determino infine la temperatura del gas sfruttando al relazione che lega questa grandezza all’energia cinetica media:
$$K_m
=
\frac{3}{2}k_bT$$
da cui:
$$T=\frac{2}{3}\frac{K_m}{k_b}
=$$
$$\frac{2}{3}\times\frac{7,81\times10^{-21}J}{1,381\times10^{-23}\frac{J}{K}}=377K$$
