Esercizio

MATERIA – FISICA

Una delle bombole di anidride carbonica

Una delle bombole di anidride carbonica

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

Una delle bombole di anidride carbonica (CO2) nel magazzino di un’azienda che produce bibite gassate registra sul manometro una pressione di 11,2 x 10^5 Pa. La bombola ha una capienza di 25 L e contiene 538 g di anidride carbonica.
1. Calcola la temperatura con l’equazione di stato dei gas perfetti.
2. Calcola la temperatura con l’equazione di van der Waals

Introduzione all’Argomento:

Temperatura, pressione e volume sono tre grandezza fondamentali nello studio dei gas. All’interno di questa sezione si studiano infatti trasformazioni di diverso tipo: isocore (volume costante), isoterme (temperatura costante) e isobare (pressione costante). Si distinguono poi i cosiddetti gas perfetti, ovvero quelle sostanze che obbediscono esattamente alle due leggi di Gay-Lussac e a quella di Boyle, dei quali va analizzata l’equazione di stato, e i gas reali, che possono muoversi solamente nel volume lasciato libero dalle altre molecole. Le medesime considerazioni che vengono fatte dal punto di vista macroscopico possono poi essere applicate, con le opportune accortezze e i consueti aggiustamenti, al mondo microscopico.

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio vi è una delle bombole di anidride carbonica (CO2) che registra una pressione di 11,2 x 10^5 Pa. Determiniamo innanzitutto la massa molare, ricordando che essa coincide numericamente alla massa molecolare della sostanza. Calcoliamo poi il numero di moli presenti nella bombola dividendo la massa effettiva di CO2 per la massa molare. Otteniamo infine il valore della temperatura del gas, applicando dapprima l’equazione di stato dei gas perfetti e ripetendo poi il medesimo ragionamento con quella di van der Waals. Confrontando i risultati ci accorgiamo che essi non coincidono; ciò significa che la CO2 non ha un comportamento da gas perfetto.

Risoluzione dell’Esercizio:

So che la massa molare coincide numericamente con la massa molecolare, perciò:

$$M_{CO_2}=MM_{CO_2}\frac{g}{mol}=$$

$$=(MM_C+2MM_O)\frac{g}{mol}=$$

$$=(12+2\times16)\frac{g}{mol}
=44\frac{g}{mol}$$

Determino il numero di moli presenti nella bombola facendo il rapporto tra la massa e la massa molare:

$$n=\frac{m}{M}
=
\frac{538g}{44\frac{g}{mol}}
=
12,227mol$$

Posso dunque applicare l’equazione di stato dei gas perfetti per ottenere il valore della temperatura:

$$pV=nRT$$

da cui:

$$T
=
\frac{pV}{nR}
=$$

$$=\frac{11,2\times10^5Pa\times25,0\times10^{-3}m^3}{12,227mol\times8,3145\frac{J}{mol\cdot K}}
=$$

$$=2,8\times10^2K$$

Riapplico il medesimo ragionamento, ma utilizzando l’equazione di stato di van Der Waals:

$$\left(p+\frac{a}{V_s^2}\right)(V_s-b)=\frac{R}{M_{CO_2}}T$$

dove il volume specifico è dato da $\frac{V}{m_{CO_2}}$:

$$\left(p+\frac{m_{CO_2}^2a}{V^2}\right)\left(\frac{V}{m_{CO_2}}-b\right)=\frac{R}{M_{CO_2}}T$$

da cui:

$$T
=
\frac{M_{CO_2}}{R}\left(p+\frac{m_{CO_2}^2a}{V^2}\right)\left(\frac{V}{m_{CO_2}}-b\right)
=$$

$$=\frac{44\times10^{-3}\frac{kg}{mol}}{8,3145\frac{J}{mol\cdot K}}\times\Biggl(11,2\times10^5Pa+$$

$$\frac{(0,538kg)^2\times1,879\times10^2\frac{m^5}{kg\cdot s^2}}{(25,0\times10^{-3}m^3)^2}\Biggr)\times$$

$$\times\left(\frac{25,0\times10^{-3}m^3}{0,538kg}-9,7\times10^{-4}\frac{m^3}{kg}\right)
=$$

$$=2,9\times10^2K$$

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