Un’automobile a metano ha un serbatoio da 85.0 L
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un’automobile a metano ha un serbatoio da 85.0 L che riesce a contenere 14,0 kg di gas metano CH4 a una pressione di 220 x 10^5 Pa.
1. Calcola la temperatura con l’equazione di stato dei gas perfetti.
2. Calcola la temperatura con l’equazione di van der Waals.
Introduzione all’Argomento:
Temperatura, pressione e volume sono tre grandezza fondamentali nello studio dei gas. All’interno di questa sezione si studiano infatti trasformazioni di diverso tipo: isocore (volume costante), isoterme (temperatura costante) e isobare (pressione costante). Si distinguono poi i cosiddetti gas perfetti, ovvero quelle sostanze che obbediscono esattamente alle due leggi di Gay-Lussac e a quella di Boyle, dei quali va analizzata l’equazione di stato, e i gas reali, che possono muoversi solamente nel volume lasciato libero dalle altre molecole. Le medesime considerazioni che vengono fatte dal punto di vista macroscopico possono poi essere applicate, con le opportune accortezze e i consueti aggiustamenti, al mondo microscopico.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è un’automobile a metano che ha un serbatoio da 85.0 L che ruesce contenere 14,0 kg di CH4 a una certa pressione. Determiniamo innanzitutto la massa molecolare del metano, convertendola poi in kilogrammi. Calcoliamo poi il numero di molecole presenti nel serbatoio dividendo la massa effettiva di CH4 per la massa molecolare. Così facendo, possiamo calcolare anche il numero di moli (utilizziamo la costante di Avogadro). Otteniamo infine il valore della temperatura del gas, applicando dapprima l’equazione di stato dei gas perfetti e ripetendo poi il medesimo ragionamento con quella di van der Waals. Confrontando i risultati ci accorgiamo che essi non coincidono; ciò significa che il CH4 non ha un comportamento da gas perfetto.
Risoluzione dell’Esercizio:
Determino la massa molecolare del metano:
$$MM_{CH_4}=MM_C+4MM_H=$$
$$=12u+4\times1u=16u$$
che in chili corrisponde a:
$$m_{kg}=MM_{CH_4}\times1,6605\times10^{-27}kg
=$$
$$=16u\times1,6605\times10^{-27}kg
=$$
$$=2,66\times10^{-26}kg$$
Determino il numero di molecole di metano presenti nel serbatoio facendo il rapporto tra la massa totale e la massa della singola molecola:
$$N=\frac{m_{tot}}{m_{kg}}
=$$
$$=\frac{14,0kg}{2,66\times10^{-26}kg}
=
5,26\times10^{26}$$
Calcolo ora il numero di moli tenendo conto del numero di Avogadro:
$$n=\frac{N}{N_A}=$$
$$=\frac{5,26\times10^{26}}{6,02\times10^{23}mol^{-1}}
=
8,74\times10^2mol$$
Posso dunque applicare l’equazione di stato dei gas perfetti per ottenere il valore della temperatura:
$$pV=nRT$$
da cui:
$$T
=
\frac{pV}{nR}
=$$
$$=\frac{220\times10^5Pa\times85,0\times10^{-3}m^3}{8,74\times10^2mol\times8,3145\frac{J}{mol\cdot K}}
=
257K$$
Riapplico il medesimo ragionamento, ma utilizzando l’equazione di stato di van Der Waals:
$$\left(p+\frac{a}{V_s^2}\right)(V_s-b)=\frac{R}{M_{CH_4}}T$$
dove il volume specifico è dato da $\frac{V}{m_{CH_4}}$ e $M_{CH_4}$ è la massa molare:
$$\left(p+\frac{m_{CH_4}^2a}{V^2}\right)\left(\frac{V}{m_{CH_4}}-b\right)=\frac{R}{M_{CH_4}}T$$
da cui:
$$T
=
\frac{M_{CH_4}}{R}\left(p+\frac{m_{CH_4}^2a}{V^2}\right)\left(\frac{V}{m_{CH_4}}-b\right)
$$
$$=\frac{16\times10^{-3}\frac{kg}{mol}}{8,3145\frac{J}{mol\cdot K}}\times\Biggl(220\times10^5Pa+$$
$$\frac{(14,0kg)^2\times8,877\times10^2\frac{m^5}{kg\cdot s^2}}{(85,0\times10^{-3}m^3)^2}\Biggr)\times$$
$$\times\left(\frac{85,0\times10^{-3}m^3}{14,0kg}-26,7\times10^{-4}\frac{m^3}{kg}\right)=$$
$$=302K$$
