Le molecole di anidride carbonica hanno massa
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Le molecole di anidride carbonica hanno massa 7,34 x 10^-26 kg e nell’aria di una stanza ne sono presenti un numero pari a N. Nella stanza ci sono 15 °C.
1. Calcola la velocità quadratica media v delle molecole.
2. Calcola la percentuale di molecole che si muove con una velocità compresa tra v e v + Δv con Δv = 5,0 m/s.
Introduzione all’Argomento:
Temperatura, pressione e volume sono tre grandezza fondamentali nello studio dei gas. All’interno di questa sezione si studiano infatti trasformazioni di diverso tipo: isocore (volume costante), isoterme (temperatura costante) e isobare (pressione costante). Si distinguono poi i cosiddetti gas perfetti, ovvero quelle sostanze che obbediscono esattamente alle due leggi di Gay-Lussac e a quella di Boyle, dei quali va analizzata l’equazione di stato, e i gas reali, che possono muoversi solamente nel volume lasciato libero dalle altre molecole. Le medesime considerazioni che vengono fatte dal punto di vista macroscopico possono poi essere applicate, con le opportune accortezze e i consueti aggiustamenti, al mondo microscopico.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci viene detto che le molecole di anidride carbonica hanno massa 7,34 x 10^-25 kg. Determiniamo innanzitutto la velocità quadratica media delle molecole applicando la relazione che la lega alla temperatura. Determiniamo poi le ordinate della curva di Maxwell in corrispondenza dei due valori di velocità che ci vengono forniti dal testo. Sapendo che il numero di molecole di anidride carbonica che hanno velocità compresa tra i due valori coincide numericamente al valore dell’area sottesa dalla curva (trapezio rettangolo), determiniamo a quanto ammonta la percentuale di queste ultime rispetto al totale.
Risoluzione dell’Esercizio:
Determino la velocità quadratica media delle molecole applicando la relazione che la lega alla temperatura:
$$\langle v\rangle=\sqrt{\frac{3k_bT}{m}}=$$
$$=\sqrt{\frac{3\times1,381\times10^{-23}\frac{J}{K}\times(15+273)K}{7,34\times10^{-26}kg}}$$
$$=403\frac{m}{s}$$
Determino ora le ordinate della curva di Maxwell in corrispondenza dei due valori di velocità:
Per $v_1=403\frac{m}{s}$:
$$y_1
=
\frac{4N}{\sqrt\pi}\left(\frac{m}{2k_bT}\right)^{\frac{3}{2}}v_1^2e^{-\frac{mv_1^2}{2k_bT}}
=\frac{4N}{\sqrt\pi}\times$$
$$\left(\frac
{7,34\times10^{-26}kg}{2\times1,381\times10^{-23}\frac{J}{K}\times(15+273)K}\right)
^{\frac{3}{2}}$$
$$\times\left(403\frac{m}{s}\right)^2\times e^{-\frac
{7,34\times10^{-26}kg\times\left(403\frac{m}{s}\right)^2}
{2\times1,381\times10^{-23}\frac{J}{K}\times(15+273)K}}=$$
$$=\left(2,295\times10^{-3}\frac{s}{m}\right)N$$
Per $v_2=\Delta v + v_1=408\frac{m}{s}$:
$$y_2
=
\frac{4N}{\sqrt\pi}\left(\frac{m}{2k_bT}\right)^{\frac{3}{2}}v_2^2e^{-\frac{mv_2^2}{2k_bT}}
=\frac{4N}{\sqrt\pi}\times$$
$$\left(
\frac
{7,34\times10^{-26}kg}{2\times1,381\times10^{-23}\frac{J}{K}\times(15+273)K}\right)
^{\frac{3}{2}}$$
$$\times\left(408\frac{m}{s}\right)^2\times e^{-\frac
{7,34\times10^{-26}kg\times\left(408\frac{m}{s}\right)^2}
{2\times1,381\times10^{-23}\frac{J}{K}\times(15+273)K}}=$$
$$=\left(2,266\times10^{-3}\frac{s}{m}\right)N$$
So che il numero di molecole di anidride carbonica che hanno velocità compresa tra i due valori coincide numericamente al valore dell’area sottesa dalla curva, la quale può essere approssimata a un trapezio rettangolo:
$$N_{compresi}
=
A_{trapezio}
=$$
$$=\frac{(y_1+y_2)(v_2-v_1)}{2}
=$$
$$=\frac{(2,295+2,266)\times10^{-3}\frac{s}{m}N\times5\frac{m}{s}}{2}$$
$$=1,1\times10^{-2}N$$
Che, in percentuale, corrisponde a (rapporto tra molecole con velocità compresa e molecole totali):
$$\frac{N_{compresi}}{N_{tot}}=$$
$$=\frac{1,1\times10^{-2}N}{N}=
1,1\times10^{-2}
=1,1\%$$
