La temperatura di un gas perfetto passa da
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
La temperatura di un gas perfetto passa da 40 °C a 80 °C.
1. Di quale fattore aumenta l’energia cinetica media di traslazione delle sue molecole?
2. Di quale fattore aumenta la velocità quadratica media delle sue molecole?
Introduzione all’Argomento:
Temperatura, pressione e volume sono tre grandezza fondamentali nello studio dei gas. All’interno di questa sezione si studiano infatti trasformazioni di diverso tipo: isocore (volume costante), isoterme (temperatura costante) e isobare (pressione costante). Si distinguono poi i cosiddetti gas perfetti, ovvero quelle sostanze che obbediscono esattamente alle due leggi di Gay-Lussac e a quella di Boyle, dei quali va analizzata l’equazione di stato, e i gas reali, che possono muoversi solamente nel volume lasciato libero dalle altre molecole. Le medesime considerazioni che vengono fatte dal punto di vista macroscopico possono poi essere applicate, con le opportune accortezze e i consueti aggiustamenti, al mondo microscopico.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è un gas perfetto, la cui temperatura passa da 40 °C a 80 °C (raddoppia). Sappiamo che la temperatura del gas e l’energia cinetica media di traslazione sono legate da un relazione di proporzionalità diretta. Possiamo dunque esprimere il rapporto tra energia cinetica media di traslazione iniziale e finale in funzione della temperatura. Fatto ciò, calcoliamo il rapporto tra le velocità quadratiche medie in funzione del valore appena trovato. Confrontando i risultati, notiamo che entrambe le grandezze aumentano, ma di un fattore differente.
Risoluzione dell’Esercizio:
So che temperatura del gas e l’energia cinetica media di traslazione sono legate dalla seguente relazione:
$$K_m
=
\frac{3}{2}k_bT$$
Esprimo dunque il rapporto tra energia cinetica media di traslazione iniziale e finale in funzione della temperatura:
$$\frac{K_{m_f}}{K_{m_0}}
=
\frac{\frac{3}{2}k_bT_f}{\frac{3}{2}k_bT_0}
=
\frac{T_f}{T_0}
=$$
$$=\frac{(80+273)K}{(40+273)K}
=
1,13$$
L’energia cinetica media di traslazione delle molecole aumenta di un fattore 1,13.
Sapendo poi che l’energia cinetica, per definizione, è pari a:
$$K_m
=
\frac{1}{2}m\langle v\rangle^2$$
da cui:
$$\langle v\rangle
=
\sqrt
{\frac{2K_m}{m}}$$
Esprimo il rapporto tra le velocità quadratiche medie iniziali e finali in funzione del rapporto appena calcolato:
$$\frac{\langle v_f\rangle}{\langle v_0\rangle}=\sqrt{\frac{\frac{2K_{m_f}}{m}}{\frac{2K_{m_0}}{m}}}=\sqrt
{\frac{K_{m_f}}{K_{m_0}}}
=$$
$$=\sqrt{1,13}
=
1,06$$
La velocità quadratica media delle molecole aumenta di un fattore 1,06.
