In un contenitore di volume V = 1.000 L
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
In un contenitore di volume V = 1.000 L si trovano 1,000 g di idrogeno molecolare.
1. Calcola la pressione dell’idrogeno alla temperatura T1 = 50,00 K.
2. Dimostra che la pressione così trovata è minore di quella che si otterrebbe dall’equazione di stato dei gas perfetti.
Introduzione all’Argomento:
Temperatura, pressione e volume sono tre grandezza fondamentali nello studio dei gas. All’interno di questa sezione si studiano infatti trasformazioni di diverso tipo: isocore (volume costante), isoterme (temperatura costante) e isobare (pressione costante). Si distinguono poi i cosiddetti gas perfetti, ovvero quelle sostanze che obbediscono esattamente alle due leggi di Gay-Lussac e a quella di Boyle, dei quali va analizzata l’equazione di stato, e i gas reali, che possono muoversi solamente nel volume lasciato libero dalle altre molecole. Le medesime considerazioni che vengono fatte dal punto di vista macroscopico possono poi essere applicate, con le opportune accortezze e i consueti aggiustamenti, al mondo microscopico.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci viene detto che in un contenitore di volume V = 1,000 L si trovano 1,000 g di idrogeno molecolare. Determiniamo innanzitutto il volume specifico del gas applicando la definizione. Calcoliamo poi il numero di moli di idrogeno come rapporto tra la massa del gas e la sua massa molare. Applichiamo ora l’equazione di stato di van der Waals (per i gas reali), in maniera tale da ricavare il valore della pressione. Ripetiamo lo stesso procedimento utilizzando però l’equazione di stato dei gas perfetti. Confrontando i risultati possiamo affermare che la pressione trovata in precedenza è minore rispetto a quella ottenuta con l’ultimo calcolo.
Risoluzione dell’Esercizio:
Determino il volume specifico dell’idrogeno molecolare:
$$V_s=\frac{V}{m}
=
\frac{1,000\times10^{-3}m^3}{1,000\times10^{-3}kg}
=
1,000\frac{m^3}{kg}$$
Determino anche il numero di moli di idrogeno come rapporto tra la massa di idrogeno molecolare e la sua massa molare $M$, ricordando che quest’ultima è numericamente pari alla massa molecolare $MM$ ($M_{H_2}=$$MM_{H_2}=2MM_H=2\times1,00784\frac{g}{mol}=$$2,01568\frac{g}{mol}$):
$$n=\frac{m}{M}, (1)$$
Applico ora l’equazione di stato di van Der Waals:
$$\left(p+\frac{a}{V_s^2}\right)(V_s-b)=\frac{R}{M}T$$
da cui ricavo che la pressione è pari a:
$$p=\frac{RT}{M(V_s-b)}-\frac{a}{V_s^2}
=$$
$$\frac{8,3145\frac{J}{mol\cdot K}\times50,00K}{2,01568\times10^{-3}\frac{kg}{mol}\times
(1,000-0,0131)\frac{m^3}{kg}}$$
$$-\frac{59,87\times10^2\frac{m^5}{kg\cdot s^2}}{\left(1,000\frac{m^3}{kg}\right)^2}
=
2,03\times10^5Pa$$
Calcolo invece la pressione con l’equazione di stato dei gas perfetti:
$$pV=nRT$$
che per la $(1)$ diventa:
$$pV=\frac{m}{M}RT$$
da cui:
$$p=
\frac{mRT}{VM}
=$$
$$=
\frac{1,000g\times8,3145\frac{J}{mol\cdot K}\times 50,0K}{1,000\times10^{-3}m^3\times2,01568\frac{g}{mol}}$$
$$=
2,06\times10^5Pa$$
Confrontando i risultati posso affermare che la pressione trovata precedentemente è minore rispetto a quella ottenuta dall’equazione dei gas perfetti.
