Esercizio

MATERIA – FISICA

In un forno cubico è contenuto un gas perfetto

In un forno cubico è contenuto un gas perfetto

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

In un forno cubico è contenuto un gas perfetto costituito da 2,02 x 10^22 molecole. La pressione e il volume del gas valgono rispettivamente 5,05 x 10^4 Pa e 3,38 x 10^-3 m3. Calcola:
1. La forza esercitata dal gas sulla base del forno;
2. La temperatura del gas;
3. L’energia cinetica totale delle molecole di gas;
4. L’energia cinetica media delle molecole di gas;

Introduzione all’Argomento:

Temperatura, pressione e volume sono tre grandezza fondamentali nello studio dei gas. All’interno di questa sezione si studiano infatti trasformazioni di diverso tipo: isocore (volume costante), isoterme (temperatura costante) e isobare (pressione costante). Si distinguono poi i cosiddetti gas perfetti, ovvero quelle sostanze che obbediscono esattamente alle due leggi di Gay-Lussac e a quella di Boyle, dei quali va analizzata l’equazione di stato, e i gas reali, che possono muoversi solamente nel volume lasciato libero dalle altre molecole. Le medesime considerazioni che vengono fatte dal punto di vista macroscopico possono poi essere applicate, con le opportune accortezze e i consueti aggiustamenti, al mondo microscopico.

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio ci viene detto che in un forno cubico è contenuto un gas perfetto costituito da 2,02 x 10^22 molecole. Ricaviamo innanzitutto il valore dello spigolo tenendo che, essendo un cubo, esso equivale alla radice cubica del volume. Possiamo così determinare l’area di base e, di conseguenza, la forza esercitata dal gas sulla base del forno. A questo punto, sapendo che in una mole di una qualsiasi sostanza vi sono 6,02 x 10^23 particelle (numero di Avogadro), calcoliamo il numero di moli presenti. Applichiamo poi l’equazione di stato del gas perfetto per ottenere la temperatura e determiniamo infine l’energia cinetica totale moltiplicando l’energia cinetica media di traslazione per il numero di molecole di gas.

Risoluzione dell’Esercizio:

Essendo il forno cubico, ricavo il valore dello spigolo partendo dal volume:

$$l=\sqrt[3]{V}
=
\sqrt[3]{3,38\times10^{-3}m^3}=0,15m$$

Dunque l’area di base vale:

$$A_{base}
=
l^2
=
(0,15m)^2
=
0,0225m^2$$

Calcolo ora la forza esercitata dal gas sulla base del forno partendo dalla definizione di pressione:

$$p=\frac{F}{A_{base}}$$

da cui ricavo che:

$$F=pA_{base}
=$$

$$=
5,05\times10^4Pa\times0,0225m^2$$

$$=
1,14\times10^3N$$

Sapendo che in una mole di una qualsiasi sostanza vi sono $6,02\times10^{23}$ molecole (numero di Avogadro), determino il numero di moli di gas presenti nel forno:

$$n=\frac{N}{N_A}
=$$

$$=
\frac{2,02\times10^{22}}{6,02\times10^{23}mol^{-1}}
=
0,03355mol$$

Ora posso quindi calcolare il valore della temperatura del gas applicando l’equazione di stato del gas perfetto:

$$pV=nRT$$

da cui:

$$T
=
\frac{pV}{nR}
=$$

$$=
\frac{5,05\times10^4Pa\times3,38\times10^{-3}m^3}{0,03355mol\times8,3145\frac{J}{mol\cdot K}}
=
612K$$

Determino ora l’energia cinetica media delle molecole di gas applicando la relazione che lega questa grandezza alla temperatura:

$$K_m=\frac{3}{2}k_bT
=$$

$$=
\frac{3}{2}\times1,381\times10^{-23}\frac{J}{K}\times612K$$

$$=
1,27\times10^{-20}J$$

Dunque, l’energia cinetica totale ammonta a:

$$K_{tot}
=
NK_m
=$$

$$=
2,02\times10^{22}\times1,27\times10^{-20}J=256J$$

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