Esercizio

MATERIA – FISICA

Una bombola di metano ha un volume di

Una bombola di metano ha un volume di

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

Una bombola di metano ha un volume di (34,5 ± 0,1) L ed è stata riempita fino alla pressione di (215 ± 2) x 10^5 Pa a una temperatura del gas di (45 ± 1) °C. Qual è la massa di metano contenuta nel serbatoio con la relativa incertezza di misura, nell’ipotesi che il gas si comporti come un gas perfetto ?

Introduzione all’Argomento:

Temperatura, pressione e volume sono tre grandezza fondamentali nello studio dei gas. All’interno di questa sezione si studiano infatti trasformazioni di diverso tipo: isocore (volume costante), isoterme (temperatura costante) e isobare (pressione costante). Si distinguono poi i cosiddetti gas perfetti, ovvero quelle sostanze che obbediscono esattamente alle due leggi di Gay-Lussac e a quella di Boyle, dei quali va analizzata l’equazione di stato, e i gas reali, che possono muoversi solamente nel volume lasciato libero dalle altre molecole. Le medesime considerazioni che vengono fatte dal punto di vista macroscopico possono poi essere applicate, con le opportune accortezze e i consueti aggiustamenti, al mondo microscopico.

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio vi è una bombola di metano con un volume di circa 34,5 L (viene riportata la sua incertezza). Determiniamo innanzitutto la massa molare del metano, ricordando che essa è pari in modulo alla massa molecolare. Calcoliamo poi il numero di moli applicando l’equazione di stato del gas perfetto, ricavando contemporaneamente anche l’errore relativo. A questo punto determiniamo il valore attendibile della massa di metano contenuta nel serbatoio. Infine, calcoliamo l’ammontare dell’errore assoluto moltiplicando l’errore relativo per il valore attendibile e ricordando che esso deve avere una sola cifra significativa. 

Risoluzione dell’Esercizio:

Determino la massa molare del metano, sapendo che essa è pari in modulo alla massa molecolare:

$$M_{CH_4}
=
MM_{CH_4}\frac{g}{mol}
=$$

$$=
(MM_C+4MM_H)\frac{g}{mol}=$$

$$=
(12+4\times1)\frac{g}{mol}=
16\frac{g}{mol}$$

Determino il numero di moli applicando l’equazione di stato del gas perfetto:

$$pV=nRT$$

da cui:

$$n
=
\frac{pV}{RT}
=$$

$$=\frac{215\times10^5Pa\times34,5\times10^{-3}m^3}{8,3145\frac{J}{mol\cdot K}\times(45+273)K}
=$$

$$=
280,5mol$$

Calcolo anche l’errore relativo (dato dal rapporto tra errore assoluto e valore attendibile della misura) del numero di moli, che è dato dalla somma dei singoli errori relativi:

$$\epsilon_n
=
\epsilon_p+\epsilon_V+\epsilon_T
=$$

$$=\frac{2\times10^5Pa}{215\times10^5Pa}
+
\frac{0,1\times10^{-3}m^3}{34,5\times10^{-3}m^3}
+$$

$$+
\frac{1K}{(45+273)K}
=
0,0153$$

Calcolo ora il valore attendibile della massa di metano contenuta nel serbatoio utilizzando la massa molare:

$$m_{tot}=n
M_{CH_4}
=$$

$$=
280,5mol\times16\frac{g}{mol}
=
4,49\times10^3g$$

$$=4,49kg$$

Avendo moltiplicato il valore per una costante, l’errore relativo rimane invariato:

$$\epsilon_{m_{tot}}=\epsilon_n=
0,0153$$

Determino ora l’errore assoluto moltiplicando l’errore relativo per il valore attendibile (ricordo che l’errore assoluto deve avere una sola cifra significativa):

$$e_{m_{tot}}
=
\epsilon_{m_{tot}}m_{tot}
=$$

$$=
0,0153\times4,49kg
=0,07kg$$

Dunque la massa di metano contenuta nel serbatoio è pari a:

$$m_{tot}=(4,49\pm 0,07)kg$$

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