Il numero di molecole per unità di volume
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Il numero di molecole per unità di volume nell’atmosfera del pianeta Marte è 3,0 x 10^23 molecole/m3. La pressione atmosferica media vale 0,92 kPa. Qual è la temperatura media su Marte? Considera l’atmosfera un gas perfetto.
Introduzione all’Argomento:
Temperatura, pressione e volume sono tre grandezza fondamentali nello studio dei gas. All’interno di questa sezione si studiano infatti trasformazioni di diverso tipo: isocore (volume costante), isoterme (temperatura costante) e isobare (pressione costante). Si distinguono poi i cosiddetti gas perfetti, ovvero quelle sostanze che obbediscono esattamente alle due leggi di Gay-Lussac e a quella di Boyle, dei quali va analizzata l’equazione di stato, e i gas reali, che possono muoversi solamente nel volume lasciato libero dalle altre molecole. Le medesime considerazioni che vengono fatte dal punto di vista macroscopico possono poi essere applicate, con le opportune accortezze e i consueti aggiustamenti, al mondo microscopico.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci viene detto che le molecole per unità di volume nell’atmosfera di Marte è di 3,0 x 10^23 molecole/m3. Ipotizziamo che l’atmosfera si comporti come un gas perfetto. Esplicitiamo la temperatura media di Marte applicando l’apposita equazione di stato. Sapendo che il numero di moli n è esprimibile in funzione del numero di molecole, riscriviamo la relazione precedente. Tenendo poi conto che N/V corrisponde proprio al numero di molecole per metro cubo, calcoliamo la temperatura richiesta sostituendo i valori numeri di cui disponiamo.
Risoluzione dell’Esercizio:
Considero l’atmosfera un gas perfetto.
Determino la temperatura media su Marte applicando l’equazione di stato:
$$pV=nRT$$
da cui:
$$T=\frac{pV}{nR}$$
So che il numero di moli è esprimibile in funzione del numero di molecole, secondo la relazione che segue:
$$n
=
\frac{N}{N_A}$$
con $N_A$ che è il numero di Avogadro.
Posso dunque riscrivere l’equazione di stato come:
$$T
=
\frac{pVN_A}{NR}$$
Tenendo conto che il numero di molecole per unità di volume è dato da $\frac{N}{V}$, ho che la temperatura su Marte è pari a:
$$T
=
\frac{pN_A}{R}\frac{V}{N}
=
\frac{pN_A}{R}\frac{1}{\frac{N}{V}}
=$$
$$=
\frac{0,92\times10^3Pa\times6,02\times10^{23}}{8,3145\frac{J}{mol\cdot K}}
\times$$
$$\times\frac{1}{3,0\times10^{23}m^{-3}}
=222K
=$$
$$=
(222-273)^\circ C
=
-51^\circ C$$
