In un vaso cilindrico per conserve da 0.50 L
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
In un vaso cilindrico per conserve da 0,50 L, di diametro 70 mm, viene versata della marmellata appena cotta a una temperatura di 90 °C; la marmellata riempie il vaso fino all’altezza di 11 cm. Il vaso viene quindi chiuso ermeticamente e si raffredda fino a temperatura ambiente (20 °C). L’aria, inizialmente, si trovava alla pressione standard di 1,0 x 10^5 Pa. Calcola:
1. La pressione dell’aria rimasta all’interno del vaso (trascura in questa fase la deformazione del coperchio, e considera la trasformazione a volume costante);
2. Il numero di moli di aria rimaste all’interno del barattolo.
Introduzione all’Argomento:
Temperatura, pressione e volume sono tre grandezza fondamentali nello studio dei gas. All’interno di questa sezione si studiano infatti trasformazioni di diverso tipo: isocore (volume costante), isoterme (temperatura costante) e isobare (pressione costante). Si distinguono poi i cosiddetti gas perfetti, ovvero quelle sostanze che obbediscono esattamente alle due leggi di Gay-Lussac e a quella di Boyle, dei quali va analizzata l’equazione di stato, e i gas reali, che possono muoversi solamente nel volume lasciato libero dalle altre molecole. Le medesime considerazioni che vengono fatte dal punto di vista macroscopico possono poi essere applicate, con le opportune accortezze e i consueti aggiustamenti, al mondo microscopico.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è un vaso cilindrico per conserve da 0.50, dove si versa della marmellata appena cotta. Determiniamo innanzitutto l’altezza del vasetto, partendo dalla definizione di volume, e quella occupata dall’aria, per differenza con quella della marmellata. Calcoliamo poi il volume occupato dall’aria all’interno del vasetto. A questo punto, sapendo che la trasformazione avviene a V costante, possiamo ricavare il valore della pressione finale applicando la seconda legge di Gay-Lussac. Infine, determiniamo il numero di moli di aria rimaste applicando l’equazione di stato dei gas perfetti.
Risoluzione dell’Esercizio:
Calcolo l’altezza del vasetto:
$$V=\pi r^2h_{vas}$$
da cui:
$$h_{vas}
=
\frac{V}{\pi r^2}
=$$
$$\frac{0,50\times10^{-3}m^3}{\pi \times (35\times10^{-3}m)^2}
=
0,13m$$
Ciò significa che la porzione occupata dall’aria è pari a:
$$h_{aria}=h_{vas}-h_{marm}=(13-11)cm=2cm$$
E dunque occupa un volume di:
$$V_{aria}
=
\pi r^2 h_{aria}
=$$
$$=
\pi \times (35\times10^{-3}m)^2\times0,02m=$$
$$=7,7\times10^{-5}m^3$$
Dal momento che la trasformazione avviene a volume costante, posso applicare la seconda legge di Gay-Lussac per calcolare il valore della pressione finale:
$$\frac{p_0}{T_0}
=
\frac{p_f}{T_f}$$
da cui:
$$p_f=\frac{T_f}{T_0}p_0
=$$
$$=
\frac{(20+273)K}{(90+273)K}\times1,0\times10^5Pa=$$
$$=
8,1\times10^4Pa$$
Determino infine il numero di moli di aria rimaste applicando l’equazione di stato dei gas perfetti:
$$p_fV_{aria}=n_fRT_f$$
da cui:
$$n_f
=
\frac{p_fV_{aria}}{RT_f}
=$$
$$=
\frac{8,1\times10^4Pa\times7,7\times10^{-5}m^3}{8,3145\frac{J}{mol\cdot K}\times(20+273)K}
=$$
$$=2,56\times10^{-3}mol$$
