Esercizio

MATERIA – FISICA

In una giornata d’inverno lasciamo all’aperto una bottiglia

In una giornata d’inverno lasciamo all’aperto una bottiglia

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

In una giornata d’inverno lasciamo all’aperto una bottiglia da 1,50 L, chiusa, che contiene aria alla pressione di 103 kPa. La bottiglia contiene 4,22 x 10^22 molecole di azoto e ossigeno (massa molare media 28 g) e il sistema formato da queste molecole può essere considerato un gas perfetto.
1. Calcola l’energia cinetica media delle molecole dovuta al loro spostamento nella bottiglia.
2. Calcola la temperatura dell’aria contenuta nella bottiglia.

Introduzione all’Argomento:

Temperatura, pressione e volume sono tre grandezza fondamentali nello studio dei gas. All’interno di questa sezione si studiano infatti trasformazioni di diverso tipo: isocore (volume costante), isoterme (temperatura costante) e isobare (pressione costante). Si distinguono poi i cosiddetti gas perfetti, ovvero quelle sostanze che obbediscono esattamente alle due leggi di Gay-Lussac e a quella di Boyle, dei quali va analizzata l’equazione di stato, e i gas reali, che possono muoversi solamente nel volume lasciato libero dalle altre molecole. Le medesime considerazioni che vengono fatte dal punto di vista macroscopico possono poi essere applicate, con le opportune accortezze e i consueti aggiustamenti, al mondo microscopico.

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio lasciamo una bottiglia da 1,50 litri all’aperto. Determiniamo innanzitutto la massa media di una molecola di gas, ricordando che la massa molecolare coincide in modulo con quella molare. Calcoliamo poi la velocità quadratica media delle molecole applicando la formula che la lega a pressione e volume. A questo punto, possiamo dapprima ricavare il valore dell’energia cinetica media, e poi quello della temperatura.

Risoluzione dell’Esercizio:

Determino la massa di una molecola, sapendo che la massa molecolare coincide in modulo alla massa molare ($MM=28u$):

$$m=28\times 1,6605\times10^{-27}kg$$

$$=4,65\times10^{-26}kg$$

Calcolo ora la velocità quadratica media delle molecole applicando la formula che la lega a pressione e volume:

$$p
=
\frac{Nm\langle v\rangle^2}{3V}$$

da cui:

$$\langle v \rangle=\sqrt{\frac{3pV}{Nm}}=$$

$$=\sqrt{\frac{3\times103\times10^3Pa\times1,50\times10^{-3}m^3}{4,22\times10^{22}\times4,65\times10^{-26}kg}}=$$

$$=486\frac{m}{s}$$

Posso dunque determinare l’energia cinetica media di traslazione applicando la definizione:

$$K_m
=
\frac{1}{2}
m
\langle v \rangle^2
=$$

$$=
\frac{1}{2}\times 4,65\times10^{-26}kg\times\left(486\frac{m}{s}\right)^2=$$

$$=
5,49\times10^{-21}J$$

Sapendo che esiste una relazione che lega energia cinetica media di traslazione alla temperatura, posso calcolare il valore di quest’ultima grandezza:

$$K_m=\frac{3}{2}k_bT$$

da cui:

$$T
=
\frac{2K_m}{3k_b}
=$$

$$=
\frac{2\times5,49\times10^{-21}J}{3\times1,381\times10^{-23}\frac{J}{K}}
=
265 K$$

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