La velocità di fuga è per definizione la velocità che
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
La velocità di fuga è, per definizione, la velocità che un oggetto qualsiasi deve possedere per allontanarsi dalla superficie del corpo celeste sul quale si trova, senza ricadere su di esso a causa della gravità. Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è 11,2 x 10^3 m/s. A quale temperatura dovrebbe trovarsi una certa quantità di ossigeno (massa molecolare 32,0) perché la velocità quadratica media delle molecole sia uguale alla velocità di fuga?
Introduzione all’Argomento:
Temperatura, pressione e volume sono tre grandezza fondamentali nello studio dei gas. All’interno di questa sezione si studiano infatti trasformazioni di diverso tipo: isocore (volume costante), isoterme (temperatura costante) e isobare (pressione costante). Si distinguono poi i cosiddetti gas perfetti, ovvero quelle sostanze che obbediscono esattamente alle due leggi di Gay-Lussac e a quella di Boyle, dei quali va analizzata l’equazione di stato, e i gas reali, che possono muoversi solamente nel volume lasciato libero dalle altre molecole. Le medesime considerazioni che vengono fatte dal punto di vista macroscopico possono poi essere applicate, con le opportune accortezze e i consueti aggiustamenti, al mondo microscopico.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci viene richiamato il concetto di velocità di fuga. Essa è la velocità che un oggetto qualsiasi deve possedere per allontanarsi dalla superficie del corpo celeste sul quale si trova. Determiniamo innanzitutto la massa di una molecola di ossigeno esprimendola in chilogrammi. Sapendo che la velocità quadratica media può essere espressa in funzione della temperatura, imponiamo la relazione risolutiva del quesito. Da questa esplicitiamo il valore della temperatura T, sostituiamo i valori numerici di cui disponiamo e calcoliamo il risultato.
Risoluzione dell’Esercizio:
Determino la massa di una molecola di ossigeno in chilogrammi:
$$m=32,0\times1,6605\times10^{-27}kg$$
$$=5,31\times10^{-26}kg$$
So che la velocità quadratica media può essere espressa in funzione della temperatura:
$$\langle v \rangle=\sqrt{\frac{3k_bT}{m}}$$
Dal momento che essa deve essere pari alla velocità di fuga terrestre, impongo la seguente relazione:
$$\langle v \rangle
=
v_f$$
ovvero:
$$\sqrt{\frac{3k_bT}{m}}
=
v_f$$
da cui ricavo che la temperatura necessaria affinché accada quanto richiesto è pari a:
$$T
=
\frac{v_f^2m}{3k_b}
=$$
$$=
\frac{\left(11,2\times10^3\frac{m}{s}\right)^2\times 5,31\times10^{-26}kg}{3\times1,381\times10^{-23}\frac{J}{K}}=$$
$$=
1,61\times10^5K$$
