Una quantità di 3.50 g di ossigeno gassoso è contenuta
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Una quantità di 3.50 g di ossigeno gassoso è contenuta in un recipiente di 90,0 cm3 alla pressione di 28,4 x 10^5 Pa. Calcola:
1. La temperatura dell’ossigeno trattandolo come se fosse un gas perfetto;
2. La temperatura dell’ossigeno applicando l’equazione di van Der Waals;
3. L’errore che si commette trattando il gas come un gas perfetto.
Introduzione all’Argomento:
Temperatura, pressione e volume sono tre grandezza fondamentali nello studio dei gas. All’interno di questa sezione si studiano infatti trasformazioni di diverso tipo: isocore (volume costante), isoterme (temperatura costante) e isobare (pressione costante). Si distinguono poi i cosiddetti gas perfetti, ovvero quelle sostanze che obbediscono esattamente alle due leggi di Gay-Lussac e a quella di Boyle, dei quali va analizzata l’equazione di stato, e i gas reali, che possono muoversi solamente nel volume lasciato libero dalle altre molecole. Le medesime considerazioni che vengono fatte dal punto di vista macroscopico possono poi essere applicate, con le opportune accortezze e i consueti aggiustamenti, al mondo microscopico.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è una quantità di 3,50 g di ossigeno gassoso (O2) che è contenuta in un recipiente. Determiniamo innanzitutto il numero di moli presenti, ricordando che la massa molare è pari in modulo alla massa molecolare. Determiniamo poi il valore della temperatura, dapprima nel caso di gas perfetto, e poi utilizzando l’equazione di van der Waals. A questo punto non ci resta che determinare la percentuale di errore che si commette trattando l’ossigeno come gas perfetto.
Risoluzione dell’Esercizio:
Determino il numero di moli di ossigeno gassoso ($O_2$) presenti in 3,50 g di sostanza, ricordando che la massa molare è pari in modulo alla massa molecolare $\left(M_{O_2}=32\frac{g}{mol}\right)$:
$$n=\frac{m_{O_2}}{M_{O_2}}
=
\frac{3,50g}{32\frac{g}{mol}}
=
0,1094mol$$
Determino ora il valore della temperatura dell’ossigeno nel caso in cui fosse un gas perfetto:
$$pV=nRT$$
da cui:
$$T_{perfetto}=
\frac{pV}{nR}
=$$
$$\frac{28,4\times10^5Pa\times90,0\times10^{-6}m^3}{0,1094mol\times8,3145\frac{J}{mol\cdot K}}
=281K$$
Ripeto il procedimento applicando l’equazione di van Der Waals, ricordando che il volume specifico è dato da:
$$V_s
=
\frac{V}{m}
=$$
$$=\frac{90,0\times10^{-6}m^3}{3,50\times10^{-3}kg}
=
2,57\times10^{-2}\frac{m^3}{kg}$$
Dunque:
$$\left(p+\frac{a}{V_s^2}\right)(V_s-b)=\frac{R}{M_{O_2}}T$$
da cui:
$$T_{reale}
=
\frac{M_{O_2}\left(p+\frac{a}{V_s^2}\right)(V_s-b)}{R}
=$$
$$=\frac
{32\times10^{-3}\frac{kg}{mol}\times}{8,3145\frac{J}{mol\cdot K}}$$
$$\frac
{\times
\left(28,4\times10^5Pa+\frac{1,346\times10^2\frac{m^5}{kg\cdot s^2}}
{\left(2,57\times10^{-2}\frac{m^3}{kg}\right)^2}\right)\times}{8,3145\frac{J}{mol\cdot K}}$$
$$\frac
{\times\left(2,57\times10^{-2}\frac{m^3}{kg}-9,94\times10^{-4}\frac{m^3}{kg}\right)}{8,3145\frac{J}{mol\cdot K}}=$$
$$=290 K$$
(consideriamo $8,3145\frac{J}{mol\cdot K}$ come un unico denominatore – la frazione è scritta su più righe per questioni di spazio).
Determino infine l’errore che si commette trattando l’ossigeno come un gas perfetto:
$$1-\frac{T_{perfetto}}{T_{reale}}
=
1-\frac{281K}{290K}
=
0,03
=
3\%$$
