Una molla verticale immagazzina 0.962 J di
Categoria: FISICA | LAVORO ED ENERGIA | ENERGIA POTENZIALE
Una molla verticale immagazzina 0.962 J di energia potenziale quando a essa viene appesa una massa di 3,50 kg.
1. Di quale fattore varia l’energia potenziale della molla se la massa appesa a essa viene raddoppiata?
2. Verifica la risposta alla domanda precedente calcolando l’energia potenziale della molla quando la massa appesa è di 7,0 kg.
1) Lavoro ed Energia
In questa unità didattica affronteremo due argomenti nuovi, l’uno strettamente correlato all’altro. Daremo infatti una definizione fisica al concetto di lavoro e mostreremo come esso si lega all’energia. Capiremo poi come questa relazione sia fondamentale per lo studio di quella branchia della fisica che denominiamo dinamica. Lavoro ed energia ci permettono infatti di comprendere a pieno fenomeni che osserviamo quotidianamente. Basti pensare agli sforzi che compiamo quando andiamo a correre, o alla carica improvvisa che acquisiamo quando beviamo una bevanda zuccherata. Si tratta dunque di un argomento che, per quanto possa sembrare astratto e lontano dalla tangibilità, è in realtà estremamente concreto e vicino a tutti noi.
2) Energia Potenziale
Dopo aver parlato approfonditamente delle forze conservative, possiamo ora affrontare un nuovo concetto che ci accompagnerà per il resto della nostra carriera liceale: l’energia potenziale.
Essa ricopre un ruolo estremamente importante, in quanto propedeutica per i successivi argomenti. In particolare, in questa lezione, analizzeremo di due forze, quella di gravità e quella elastica, e vedremo che le rispettive energie hanno formule che ne richiamano fortemente alcune che già conosciamo.
In questo esercizio vi è una molla verticale che immagazzina 0.962 J di energia potenziale. Analizziamo innanzitutto la situazione: quando appendiamo una massa alla molla, quest’ultima si allunga fino a raggiungere un equilibrio, in cui forza peso e forza elastica si compensano. Possiamo dunque imporre una relazione tale per cui riusciamo ad esplicitare la deformazione $x$ della molla. Da questa notiamo che essa è direttamente proporzionale alla massa, pertanto sostituendo quanto trovato nella formula dell’energia potenziale otteniamo un aumento di fattore 4.
Quando appendiamo una massa alla molla, quest’ultima si allunga fino a raggiungere un equilibrio, in cui forza peso e forza elastica si compensano:
$$F_{el}=F_p$$
ovvero:
$$kx=mg$$
da cui:
$$x=m\frac{g}{k}, (1)$$
La relazione che ho appena scritto ci mostra come l’allungamento dipenda direttamente dalla massa. L’accelerazione gravitazionale e la costante elastica sono infatti delle costanti che, in quanto tali, non variano.
So che, per definizione, l’energia potenziale elastica si ottiene tramite la seguente formula:
$$U=\frac{1}{2}kx^2$$
Sostituendo la $(1)$, ho che:
$$U=\frac{1}{2}k\left(m\frac{g}{k}\right)^2=\frac{1}{2}\frac{m^2g^2}{k},(2)$$
Perciò, se la massa raddoppia $m_1=2m$, ho che:
$$U_1=\frac{1}{2}\frac{m_1^2g^2}{k}=\frac{1}{2}\frac{(2m)^2g^2}{k}=$$
$$=4\times\frac{1}{2}\frac{m_1^2g^2}{k}=4U$$
Dunque, al raddoppiare della massa, l’energia potenziale della molla aumenta di un fattore 4.
Ricavo il valore della costante elastica dalla $(2)$:
$$k=\frac{1}{2}\frac{m^2g^2}{U}=$$
$$=\frac{1}{2}\times\frac{(3,50kg)^2\times(9,8\frac{m}{s^2})^2}{0,962J}=611\frac{N}{m}$$
Determino ora il valore dell’energia potenziale quando raddoppia la massa:
$$U_1=\frac{1}{2}\frac{m_1^2g^2}{k^2}=$$
$$=\frac{1}{2}\times\frac{(7,0kg)^2\times(9,8\frac{m}{s})^2}{611\frac{N}{m}}=3,85J$$
Il risultato appena trovato ci permette di verificare che l’energia potenziale della molla quadruplica se la massa raddoppia.
