Esercizio

MATERIA – FISICA

All’estremo inferiore di un piano inclinato di 30°

All’estremo inferiore di un piano inclinato di 30°

Testo del Quesito:

All’estremo inferiore di un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale si trova poggiata una molla, di costante elastica 60 N/m, inizialmente compressa di 15 cm. All’estremo libero della molla è poggiato un piccolo oggetto di massa 70 g che, quando la molla è lasciata libera di allungarsi, sale lungo il piano inclinato raggiungendo la velocità di 2,5 m/s in corrispondenza della distanza percorsa di 60 cm. Calcola la variazione di energia totale del sistema oggetto-molla.

Introduzione all’Argomento:

1) Lavoro ed Energia

In questa unità didattica affronteremo due argomenti nuovi, l’uno strettamente correlato all’altro. Daremo infatti una definizione fisica al concetto di lavoro e mostreremo come esso si lega all’energia. Capiremo poi come questa relazione sia fondamentale per lo studio di quella branchia della fisica che denominiamo dinamica. Lavoro ed energia ci permettono infatti di comprendere a pieno fenomeni che osserviamo quotidianamente. Basti pensare agli sforzi che compiamo quando andiamo a correre, o alla carica improvvisa che acquisiamo quando beviamo una bevanda zuccherata. Si tratta dunque di un argomento che, per quanto possa sembrare astratto e lontano dalla tangibilità, è in realtà estremamente concreto e vicino a tutti noi.

2) Energia Meccanica

In queste lezione introduciamo uno degli ultimi aspetti di questa unità, l’energia meccanica.
Essa ricopre un ruolo estremamente importante, in quanto ci permette di collegare tra loro diversi aspetti affrontati in precedenza, quali energia cinetica ed energia potenziale. Di seguito andremo a dare una definizione di questa grandezza, ne analizzeremo l’unità di misura e spulceremo una delle leggi cardine della fisica, la “Legge di Conservazione dell’energia meccanica“. Fatta questa breve introduzione, cominciamo la nostra lezione.

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio ci viene detto che all’estremo inferiore di un piano inclinato di 30° si trova una molla compressa di 15 cm. Determiniamo innanzitutto l’energia iniziale del sistema ricordando che l’oggetto parte da fermo. Calcoliamo poi l’energia finale ovvero quando la molla non è più compressa, ma l’oggetto di muove a velocità 2,5 m/s e si trova ad una certa altezza. Una volta determinato il valore, non ci resta che ricavare la variazione di energia totale del sistema per differenza. Si tratta di un quesito abbastanza articolato in cui bisogna mixare le conoscenze che abbiamo riguardo energia potenziale gravitazionale, energia potenziale elastica e energia cinetica.

Risoluzione dell’Esercizio:

Determino l’energia iniziale del sistema ricordando che, inizialmente, l’oggetto è fermo ($K_0=0$):

$$E_0=U_0+K_0=U_0=\frac{1}{2}kx^2=$$

$$=\frac{1}{2}\times60\frac{N}{m}\times(0,15m)^2=0,675J$$

Determino ora l’energia finale del sistema, ovvero quando la molla non è più compressa, ma l’oggetto di muove a velocità 2,5 m/s e si trova ad una certa altezza $h$:

$$E_f=U_f+K_f=mgh+\frac{1}{2}mv^2$$

Calcolo l’altezza raggiunta dall’oggetto sfruttando i teoremi sui triangoli rettangoli e sapendo che il blocco percorre 60 cm partendo dalla base del piano:

$$\frac{h}{l}=\sin\alpha$$

da cui:

$$h=l\sin \alpha=0,60m\times\sin(30^\circ)=0,30m$$

Dunque l’energie finale è pari a:

$$E_f=0,070kg\times9,8\frac{m}{s^2}\times0,30m+$$

$$+\frac{1}{2}\times0,070kg\times\left(2,5\frac{m}{s}\right)^2=0,425J$$

Pertanto la variazione di energia totale del sistema è:

$$\Delta E=E_f-E_0=$$

$$=0,425J-0,675J=-0,25J$$

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