Una lunga molla con costante elastica k = 55.0 N/m
Categoria: FISICA | LAVORO ED ENERGIA | ENERGIA MECCANICA
Una lunga molla con costante elastica k = 55.0 N/m è posta in verticale sula pavimento. Un blocco di massa m = 237 g viene lanciato verso il basso con una velocità iniziale di 2,90 m/s. Il punto da cui il blocco viene lanciato si trova 73,0 cm al di sopra del livello della molla a riposo. Calcola la massima compressione della molla quando viene colpita dal blocco.
1) Lavoro ed Energia
In questa unità didattica affronteremo due argomenti nuovi, l’uno strettamente correlato all’altro. Daremo infatti una definizione fisica al concetto di lavoro e mostreremo come esso si lega all’energia. Capiremo poi come questa relazione sia fondamentale per lo studio di quella branchia della fisica che denominiamo dinamica. Lavoro ed energia ci permettono infatti di comprendere a pieno fenomeni che osserviamo quotidianamente. Basti pensare agli sforzi che compiamo quando andiamo a correre, o alla carica improvvisa che acquisiamo quando beviamo una bevanda zuccherata. Si tratta dunque di un argomento che, per quanto possa sembrare astratto e lontano dalla tangibilità, è in realtà estremamente concreto e vicino a tutti noi.
2) Energia Meccanica
In queste lezione introduciamo uno degli ultimi aspetti di questa unità, l’energia meccanica.
Essa ricopre un ruolo estremamente importante, in quanto ci permette di collegare tra loro diversi aspetti affrontati in precedenza, quali energia cinetica ed energia potenziale. Di seguito andremo a dare una definizione di questa grandezza, ne analizzeremo l’unità di misura e spulceremo una delle leggi cardine della fisica, la “Legge di Conservazione dell’energia meccanica“. Fatta questa breve introduzione, cominciamo la nostra lezione.
In questo esercizio vi è una lunga molla con costante elastica k = 55.0 N/m. Imponiamo come livello zero dell’energia potenziale gravitazionale, il livello a cui si comprime la molla. Pertanto, l’altezza del blocco è pari alla somma della distanza dall’estremità superiore della molla e la sua compressione. Possiamo ora impostare la conservazione dell’energia meccanica e ricavare un’equazione di secondo grado in funzione della compressione $x$. A questo punto non ci resta che risolverla e selezionare la soluzione più opportuna.
Impongo come livello zero dell’energia potenziale gravitazionale, il livello a cui si comprime la molla. Pertanto, l’altezza del blocco è pari alla somma della distanza dall’estremità superiore della molla $h_0$ e la sua compressione $x$:
$$h=h_0+x$$
Esprimo l’energia meccanica iniziale sapendo che la biglia viene lanciata verso il basso con una certa velocità:
$$E_{m_0}=U_0+K_0=mgh+\frac{1}{2}mv^2=$$
$$=mg(h_0+x)+\frac{1}{2}mv^2$$
Ripeto il procedimento per l’energia meccanica finale, ricordando che, in questo caso, l’energia potenziale è quella elastica e che il blocco ha velocità nulla:
$$E_{m_f}=U_f+K_f=U_f=\frac{1}{2}kx^2$$
So che vale il principio di conservazione dell’energia meccanica, perciò:
$$E_{m_0}=E_{m_f}$$
ovvero:
$$mg(h_0+x)+\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}kx^2$$
da cui ricavo un’equazione di secondo grado:
$$kx^2-2mgx-2mgh_0-mv^2=0$$
Sostituisco i numeri (senza unità di misura per evitare di appesantire la scrittura):
$$55x^2-2\times0,237\times9,8x-2\times0,237\times$$
$$\times9,8\times0,73-0,237\times2,9^2=0$$
da cui:
$$55x^2-4,645x-5,384=0$$
Scarto la soluzione negativa, dato che $x>0$ per definizione, e quindi ho che la massima compressione della molla è pari a:
$$x=0,358m=35,8cm$$
