Un pendolo è costruito con un filo lungo l = 58
Categoria: FISICA | LAVORO ED ENERGIA | LAVORO DELLE FORZE NON CONSERVATIVE
Un pendolo è costruito con un filo lungo l = 58 cm, di massa trascurabile, a cui è appeso un piombino da 25 g. Il filo viene inclinato con un angolo di 39° rispetto alla verticale e quindi il pendolo è lasciato libero di oscillare. Dopo qualche minuto si osserva che, quando il filo ha un angolo di 14° rispetto alla verticale, la velocità del piombino vale v = 1,1 m/s.
1. Quale dovrebbe essere la velocità del piombino in assenza di attrito?
2. Qual è stato, invece, il lavoro compiuto dalle forze di attrito?
1) Lavoro ed Energia
In questa unità didattica affronteremo due argomenti nuovi, l’uno strettamente correlato all’altro. Daremo infatti una definizione fisica al concetto di lavoro e mostreremo come esso si lega all’energia. Capiremo poi come questa relazione sia fondamentale per lo studio di quella branchia della fisica che denominiamo dinamica. Lavoro ed energia ci permettono infatti di comprendere a pieno fenomeni che osserviamo quotidianamente. Basti pensare agli sforzi che compiamo quando andiamo a correre, o alla carica improvvisa che acquisiamo quando beviamo una bevanda zuccherata. Si tratta dunque di un argomento che, per quanto possa sembrare astratto e lontano dalla tangibilità, è in realtà estremamente concreto e vicino a tutti noi.
2) Lavoro delle Forze Non Conservative
Abbiamo ampiamente parlato della differenza tra forze conservative e non, analizzando le energie potenziali delle prime e focalizzandoci su di esse. Per concludere il capitolo, passiamo ora a studiare le seconde, il loro comportamento, il loro lavoro e come influiscono sulla conservazione dell’energia totale di un sistema. Daremo dunque tutte le definizioni necessarie per risolvere l’ultima tipologia di esercizi riguardanti “Lavoro & Energia“, così da avere una visione a 360° di questo argomento.
In questo esercizio vi è un pendolo che è costruito con un filo lungo l = 58 cm. Imponiamo innanzitutto il livello di zero dell’energia potenziale in corrispondenza del punto più basso raggiungibile dal piombino, ovvero quando il filo è disteso perpendicolarmente al terreno. Esprimiamo poi le altezze che ci interessano in funzione della lunghezza del filo. A questo punto, essendo in assenza di attrito (primo punto), sfruttiamo il principio di conservazione dell’energia meccanica e ricaviamo la velocità del piombino nella posizione richiesta dal problema. Risolviamo invece la seconda parte applicando la relazione che persiste tra lavoro delle forze non conservative e variazione dell’energia meccanica.
Impongo il livello di zero dell’energia potenziale in corrispondenza del punto più basso raggiungibile dal piombino, ovvero quando il filo è disteso perpendicolarmente al terreno.
Il piombino parte da fermo ($K_0=0$) quando il filo viene inclinato con un angolo di 39°. Ne determino l’altezza iniziale:
$$h_0=l-l_0=$$
$$=l-l\cos(39^\circ)=l(1-\cos(39^\circ))$$
Determino ora l’altezza finale:
$$h_f=l-l_f=$$
$$=l-l\cos(14^\circ)=l(1-\cos(14^\circ))$$
In assenza di attrito, varrebbe il principio di conservazione dell’energia meccanica:
$$E_{m_0}=E_{m_f}$$
ovvero:
$$U_0=K_f+U_f$$
da cui:
$$mgh_0=\frac{1}{2}mv_f^2+mgh_f$$
semplificando e sostituendo le relazioni trovate in precedenza:
$$gl(1-\cos(39^\circ))=\frac{1}{2}v_f^2+gl(1-\cos(14^\circ))$$
perciò la velocità del piombino sarebbe:
$$v_f=\sqrt{2gl(\cos(14^\circ)-\cos(39^\circ))}=1,5\frac{m}{s}$$
Dato che ciò non accade, determino il lavoro compiuto dalle forze di attrito, ricordando che esso è pari alla variazione di energia meccanica:
$$L_{nc}=\Delta E_m=E_{m_f}-E_{m_0}=K_f+$$
$$+U_f-U_0=\frac{1}{2}mv^2+mgh_f-mgh_0=$$
$$=m\left(\frac{v^2}{2}+g(h_f-h_0)\right)=m\Biggl(\frac{v^2}{2}+$$
$$+gl(\cos(39^\circ)-\cos(14^\circ))\Biggr)=0,025kg\times$$
$$\times\Biggl(\frac{(1,1\frac{m}{s})^2}{2}+9,8\frac{m}{s^2}\times0,58m\times$$
$$\times(\cos(39^\circ)-\cos(14^\circ))\Biggr)=-0,012J$$
