Dalla base di un piano inclinato con angolo di 30°
Categoria: FISICA | LAVORO ED ENERGIA | LAVORO DELLE FORZE NON CONSERVATIVE
Dalla base di un piano inclinato con angolo di 30° è lanciato un oggetto alla velocità v0 = 5,0 m/s. Il coefficiente d’attrito dinamico è μd = 0,40. Calcola la quota ymax raggiunta dall’oggetto (trascura l’attrito con l’aria).
1) Lavoro ed Energia
In questa unità didattica affronteremo due argomenti nuovi, l’uno strettamente correlato all’altro. Daremo infatti una definizione fisica al concetto di lavoro e mostreremo come esso si lega all’energia. Capiremo poi come questa relazione sia fondamentale per lo studio di quella branchia della fisica che denominiamo dinamica. Lavoro ed energia ci permettono infatti di comprendere a pieno fenomeni che osserviamo quotidianamente. Basti pensare agli sforzi che compiamo quando andiamo a correre, o alla carica improvvisa che acquisiamo quando beviamo una bevanda zuccherata. Si tratta dunque di un argomento che, per quanto possa sembrare astratto e lontano dalla tangibilità, è in realtà estremamente concreto e vicino a tutti noi.
2) Lavoro delle Forze Non Conservative
Abbiamo ampiamente parlato della differenza tra forze conservative e non, analizzando le energie potenziali delle prime e focalizzandoci su di esse. Per concludere il capitolo, passiamo ora a studiare le seconde, il loro comportamento, il loro lavoro e come influiscono sulla conservazione dell’energia totale di un sistema. Daremo dunque tutte le definizioni necessarie per risolvere l’ultima tipologia di esercizi riguardanti “Lavoro & Energia“, così da avere una visione a 360° di questo argomento.
In questo esercizio ci viene presentata una situazione ben precisa: dalla base di un piano inclinato con un angolo di 30° viene lanciato un oggetto. Essendoci gli attriti, l’energia meccanica non si conserva, ma anzi, varia in una misura pari al lavoro compiuto dall’attrito stesso. Questo può anche essere espresso tramite la sua definizione classica, ovvero come prodotto scalare di forza e spostamento. Con qualche accorgimento matematico (ad esempio l’utilizzo dei teoremi dei triangoli rettangoli), possiamo dunque impostare una relazione che ci permetta di esplicitare l’altezza massima raggiunta dall’oggetto in funzione di velocità e coefficiente di attrito. A questo punto, non ci resta altro che sostituire i valori numerici, fare i calcoli e ottenere così il risultato richiesto.
Essendoci gli attriti, l’energia meccanica non si conserva, ma anzi, varia in una misura pari al lavoro compiuto dall’attrito stesso. Ricordando che inizialmente l’oggetto si trova alla base del piano e che alla fine esso si ferma, ho che:
$$L_{att}=E_{m_f}-E_{m_0}=$$
$$=U_f-K_0=mgh-\frac{1}{2}mv_0^2,(1)$$
Questa grandezza può essere però anche espressa tramite la sua definizione:
$$L_{att}=F_{att}\Delta x\cos(180^\circ)=$$
$$=-mg\mu_d\cos(30^\circ)\Delta x,(2)$$
Esprimo ora il tratto di piano percorso prima di fermarsi in funzione dell’altezza a cui si trova. Per farlo sfruttiamo i teoremi sui triangoli rettangoli:
$$\Delta x=\frac{h}{\sin(30^\circ)}=2h,(3)$$
Sostituendo la $(3)$ nella $(2)$ ottengo:
$$L_{att}=-2mg\mu_d\cos(30^\circ)h,(4)$$
Eguaglio ora quest’ultima relazione con la $(1)$, in maniera tale da poter esprimere l’altezza raggiunta dall’oggetto:
$$mgh-\frac{1}{2}mv_0^2=-2mg\mu_d\cos(30^\circ)h$$
da cui ricavo che:
$$h=\frac{v_0^2}{g(2+4\mu_d\cos(30^\circ))}=$$
$$=\frac{(5,0\frac{m}{s})^2}{9,8\frac{m}{s^2}\times(2+4\times0,40\times\cos(30^\circ))}=$$
$$=0,75m$$
Dunque, l’oggetto raggiunge una quota massima $y_{max}=h=0,75m$
