Esercizio

MATERIA – FISICA

Un blocchetto di massa m parte da fermo dalla

Un blocchetto di massa m parte da fermo dalla

Testo del Quesito:

Un blocchetto di massa m parte da fermo dalla sommità di un piano inclinato che alla base prosegue con una guida circolare di raggio 60 cm. Trascura gli attriti. Calcola l’altezza minima dalla quale deve partire il blocchetto per riuscire a completare il giro della morte senza staccarsi dalla guida.

Introduzione all’Argomento:

1) Lavoro ed Energia

In questa unità didattica affronteremo due argomenti nuovi, l’uno strettamente correlato all’altro. Daremo infatti una definizione fisica al concetto di lavoro e mostreremo come esso si lega all’energia. Capiremo poi come questa relazione sia fondamentale per lo studio di quella branchia della fisica che denominiamo dinamica. Lavoro ed energia ci permettono infatti di comprendere a pieno fenomeni che osserviamo quotidianamente. Basti pensare agli sforzi che compiamo quando andiamo a correre, o alla carica improvvisa che acquisiamo quando beviamo una bevanda zuccherata. Si tratta dunque di un argomento che, per quanto possa sembrare astratto e lontano dalla tangibilità, è in realtà estremamente concreto e vicino a tutti noi.

2) Energia Meccanica

In queste lezione introduciamo uno degli ultimi aspetti di questa unità, l’energia meccanica.
Essa ricopre un ruolo estremamente importante, in quanto ci permette di collegare tra loro diversi aspetti affrontati in precedenza, quali energia cinetica ed energia potenziale. Di seguito andremo a dare una definizione di questa grandezza, ne analizzeremo l’unità di misura e spulceremo una delle leggi cardine della fisica, la “Legge di Conservazione dell’energia meccanica“. Fatta questa breve introduzione, cominciamo la nostra lezione.

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio vi è un blocchetto di massa m che parte da fermo dalla sommità di un piano inclinato. Sappiamo che non sono presenti attriti, pertanto vale il principio di conservazione dell’energia meccanica. Imponiamo come istante iniziale quando il blocchetto è in cima al piano, mentre come istante finale quello in cui l’oggetto è nel punto più del alto del giro della morte. A questo punto possiamo esprimere l’energia meccanica in funzione dell’altezza e del raggio, sostituire i valori numerici e fare i calcoli.

Risoluzione dell’Esercizio:

Sappiamo che non sono presenti attriti, pertanto vale il principio di conservazione dell’energia meccanica. Impongo come istante iniziale quando il blocchetto è in cima al piano, mentre come istante finale quello in cui l’oggetto è nel punto più del alto del giro della morte (v. Figura).
Inizialmente esso è fermo, pertanto è dotato di sola energia potenziale gravitazionale:

$$E_{m_0}=U_0=mgh_0$$

Alla fine, invece, il corpo si troverà ad un’altezza pari al diametro e sarà dotato di una certa velocità tale da permettergli di rimanere attaccato e completare il giro:

$$E_{m_f}=U_f+K_f=mgh_f+\frac{1}{2}mv^2=$$

$$=mg2r+\frac{1}{2}mv^2,(1)$$

Affinché ciò avvenga, è necessario che la forza centripeta sia almeno pari alla forza peso, dunque:

$$F_c=F_p$$

ovvero:

$$m\frac{v^2}{r}=mg$$

da cui ricavo che la velocità necessaria è pari a:

$$v=\sqrt{gr}$$

Sostituisco quanto appena trovato nella $(1)$ e ottengo che l’energia meccanica finale è data da:

$$E_{m_f}=mg2r+\frac{1}{2}m(\sqrt{gr})^2=\frac{5}{2}mgr$$

Determino ora l’altezza minima richiesta applicando il principio di conservazione dell’energia:

$$E_{m_0}=E_{m_f}$$

ovvero:

$$mgh_0=\frac{5}{2}mgr$$

da cui ricavo che:

$$h_0=\frac{5}{2}r=\frac{5}{2}\times0,60m=1,5m$$

Dunque, l’altezza minima dalla quale deve partire il blocchetto per riuscire a completare il giro della morte senza staccarsi è pari a 1,5 metri.

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