Esercizio

MATERIA – FISICA

Una palla da biliardo urta elasticamente

Una palla da biliardo urta elasticamente

Testo del Quesito:

Una palla da biliardo urta elasticamente una seconda palla identica che è ferma. Dopo l’urto, le due palle si muovono in direzioni che formano angoli di 45° con la direzione del moto iniziale della prima palla e la velocità di una di esse è di 4,6 m/s.
1. Calcola il valore della velocità dell’altra palla dopo l’urto.
2. Calcola il valore della velocità iniziale della prima palla.

Introduzione all’Argomento:

1) Quantità di Moto

In questa unità didattica affronteremo un nuovo argomento riguardante la velocità e la massa dei corpi: la quantità di moto. Si tratta di una grandezza estremamente interessante di cui è abbastanza semplice farsi un’idea in testa. Essa riveste poi un ruolo particolarmente importante nello studio degli urti tra i corpi, permettendone un’analisi approfondita e dettagliata (possiamo, per esempio, comprendere le dinamiche e le motivazioni di come avvengono certi incidenti stradali), e della dinamica rotazionale, macro-argomento che però affronteremo nel prossimo capitolo. Fatta questa brevissima introduzione, partiamo col presentare nel dettaglio la grandezza che dà il titolo a questa unità.

2) Urto Elastico

In questa lezione andiamo a introdurre il concetto di urto elastico.
Prima di cominciare è bene però specificare per bene cosa sia un urto. Esso è una situazione in cui due corpi differenti si scontrano, colpendosi tra di loro. Durante l’impatto, si generano delle forze d’urto che vengono chiamate forze impulsive (per via del fatto che il loro modulo aumenta rapidamente fino a un massimo molto grande per poi tornare, altrettanto rapidamente, a zero) e che rendono trascurabili le forze esterne. Si viene dunque a creare una sorta di sistema isolato, tale per cui la quantità di moto totale si conserva nello scontro.

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio vi è una palla da biliardo che urta elasticamente una seconda palla identica. Dallo studio teorico, sappiamo che quando due biglie con la stessa massa si urtano elasticamente e obliquamente, l’angolo che viene a formarsi tra i vettori delle velocità finali dei due corpi è retto, ovvero di 90°. Imponiamo quindi la conservazione della quantità di moto lungo l’asse verticale, in maniera tale da ottenere una relazione dalla quale esplicitare le velocità finali. Imponiamo poi la conservazione dell’energia cinetica per determinare la velocità della biglia in movimento prima dell’urto.

Risoluzione dell’Esercizio:

So che, quando due biglie con la stessa massa si urtano elasticamente e obliquamente, l’angolo che viene a formarsi tra i vettori delle velocità finali dei due corpi è retto, ovvero di 90° (v. spiegazione teorica). Dato che l’urto è elastico, impongo la conservazione della quantità di moto lungo l’asse verticale:

$$p_{0_{1y}}+p_{0_{2y}}=p_{f_{1y}}+p_{f_{2y}}$$

dato che inizialmente la prima biglia si muove orizzontalmente, mentre la seconda biglia è ferma:

$$0=-mV_1\sin(45^\circ)+mV_2\sin(45^\circ)$$

da cui:

$$V_2=V_1=4,6\frac{m}{s}$$

Stabilito ciò, posso determinare la velocità della biglia in movimento prima dell’urto sapendo che, essendo elastico, l’energia cinetica del sistema si conserva:

$$K_{0_1}+K_{0_2}=K_{f_1}+K_{f_2}$$

ovvero (la seconda biglia è inizialmente ferma):

$$\frac{1}{2}mv_1^2+0=\frac{1}{2}mV_1^2+\frac{1}{2}mV_2^2$$

da cui:

$$v_1=\sqrt{V_1^2+V_2^2}=$$

$$=\sqrt{4,6^2+4,6^2}\frac{m}{s}=6,5\frac{m}{s}$$

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