Una palla di massa m1 = 24 g
Categoria: FISICA | QUANTITÀ DI MOTO | URTO ELASTICO
Una palla di massa m1 = 24 g che viaggia alla velocità v1, urta elasticamente una palla ferma di massa m2 = 1/2 m1. Dopo l’urto, la seconda palla va a colpire elasticamente una terza palla ferma, di massa m3. Tutti gli urti avvengono lungo la stessa retta. Quale deve essere la massa m3 affinché la sua velocità dopo l’urto sia uguale a v1?
1) Quantità di Moto
In questa unità didattica affronteremo un nuovo argomento riguardante la velocità e la massa dei corpi: la quantità di moto. Si tratta di una grandezza estremamente interessante di cui è abbastanza semplice farsi un’idea in testa. Essa riveste poi un ruolo particolarmente importante nello studio degli urti tra i corpi, permettendone un’analisi approfondita e dettagliata (possiamo, per esempio, comprendere le dinamiche e le motivazioni di come avvengono certi incidenti stradali), e della dinamica rotazionale, macro-argomento che però affronteremo nel prossimo capitolo. Fatta questa brevissima introduzione, partiamo col presentare nel dettaglio la grandezza che dà il titolo a questa unità.
2) Urto Elastico
In questa lezione andiamo a introdurre il concetto di urto elastico.
Prima di cominciare è bene però specificare per bene cosa sia un urto. Esso è una situazione in cui due corpi differenti si scontrano, colpendosi tra di loro. Durante l’impatto, si generano delle forze d’urto che vengono chiamate forze impulsive (per via del fatto che il loro modulo aumenta rapidamente fino a un massimo molto grande per poi tornare, altrettanto rapidamente, a zero) e che rendono trascurabili le forze esterne. Si viene dunque a creare una sorta di sistema isolato, tale per cui la quantità di moto totale si conserva nello scontro.
In questo esercizio vi è una palla di massa m1 = 24 g che si muove a una certa velocità. Determino innanzitutto la velocità della seconda pallina dopo l’urto con la prima applicando la formula relativa all’urto elastico. Considero poi lo scontro che avviene tra la seconda e la terza sfera. Tenendo conto che la terza pallina è inizialmente ferma, che la sua velocità finale deve essere pari a quella iniziale della prima e ad un altro paio di fattori, applichiamo nuovamente la formula relativa agli urti elastici. Sulla relazione che otteniamo, effettuiamo opportuni sostituzioni tali da poter poi esplicitare la massa della terza palla.
Determino la velocità della seconda pallina dopo l’urto che avviene con la prima utilizzando l’apposita formula:
$$V_2=\frac{2m_1v_1+(m_2-m_1)v_2}{m_1+m_2}$$
Ricordando che la seconda pallina è inizialmente ferma e ha massa pari alla metà della prima, ho che:
$$V_2=\frac{2m_1v_1}{m_1+\frac{1}{2}m_1}=\frac{4}{3}v_1, (1)$$
Considero ora l’urto che avviene tra la seconda e la terza pallina. La velocità che la seconda palla assume dopo il primo urto diventa, in questo caso, quella iniziale. Esprimo dunque la velocità finale della pallina numero 3 applicando l’apposita formula (l’urto è elastico):
$$V_3=\frac{2m_2V_2+(m_3-m_2)v_3}{m_2+m_3}$$
Ricordando che la terza pallina è inizialmente ferma, che la sua velocità finale deve essere pari a $V_3=v_1$, che la massa della seconda palla è pari alla metà della prima e che vale la (1), ho che:
$$v_1=\frac{2\times\frac{1}{2}m_1\times\frac{4}{3}v_1}{\frac{1}{2}m_1+m_3}=\frac{8m_1v_1}{3m_1+6m_3}$$
da cui ricavo che la massa della terza palla è pari a:
$$m_3=\frac{8m_1-3m_1}{6}=\frac{5}{6}m_1=$$
$$=\frac{5}{6}\times0,024kg=0,020kg=20g$$
