Un proiettile è sparato orizzontalmente in direzione
Categoria: FISICA | QUANTITÀ DI MOTO | URTO ANELASTICO
Un proiettile è sparato orizzontalmente in direzione del blocco di un pendolo balistico che ha massa 1,80 kg e lunghezza delle funi pari a 1,20 m. La velocità iniziale del proiettile è di 480 m/s. Nella massima oscillazione le funi formano un angolo di 31,4° con la verticale. Determina la massa del proiettile.
1) Quantità di Moto
In questa unità didattica affronteremo un nuovo argomento riguardante la velocità e la massa dei corpi: la quantità di moto. Si tratta di una grandezza estremamente interessante di cui è abbastanza semplice farsi un’idea in testa. Essa riveste poi un ruolo particolarmente importante nello studio degli urti tra i corpi, permettendone un’analisi approfondita e dettagliata (possiamo, per esempio, comprendere le dinamiche e le motivazioni di come avvengono certi incidenti stradali), e della dinamica rotazionale, macro-argomento che però affronteremo nel prossimo capitolo. Fatta questa brevissima introduzione, partiamo col presentare nel dettaglio la grandezza che dà il titolo a questa unità.
2) Urto Anelastico
In questa lezione andiamo a introdurre il concetto di urto anelastico.
Prima di cominciare è bene però specificare per bene cosa sia un urto. Esso è una situazione in cui due corpi differenti si scontrano, colpendosi tra di loro. Durante l’impatto, si generano delle forze d’urto che vengono chiamate forze impulsive (per via del fatto che il loro modulo aumenta rapidamente fino a un massimo molto grande per poi tornare, altrettanto rapidamente, a zero) e che rendono trascurabili le forze esterne. Si viene dunque a creare una sorta di sistema isolato, tale per cui la quantità di moto totale si conserva nello scontro.
In questo esercizio vi è un proiettile che viene sparato orizzontalmente in direzione del blocco di un pendolo balistico. Imponiamo innanzitutto la conservazione della quantità di moto, in maniera tale da esprimere la massa del proiettile in funzione delle altre grandezze. Calcoliamo poi il dislivello h tra la posizione iniziale assunta dal blocco dopo l’urto e quella finale. A questo punto, imponiamo la conservazione dell’energia meccanica e ricaviamo il valore della velocità del blocco appena dopo l’impatto col proiettile. Infine sostituiamo le grandezze di cui disponiamo all’interno della relazione riguardante la massa del proiettile e facciamo i calcoli.
Impongo la conservazione della quantità di moto del sistema costituito da proiettile e blocco prima e dopo l’urto ricordando che essi proseguono insieme (urto anelastico):
$$m_pv_p+m_bv_b=(m_p+m_b)V$$
Esprimo la massa del proiettile in funzione delle altre grandezze sapendo che il blocco è inizialmente fermo:
$$m_p=\frac{m_bV}{v_p-V},(1)$$
Determino ora il dislivello h che si ottiene quando il sistema blocco-proiettile raggiunge la massima altezza. Dall’immagine noto che vale la seguente relazione:
$$h=L-L\cos\alpha=L(1-\cos\alpha)=$$
$$=1,20m\times(1-\cos(31,4^\circ))=0,176m$$
Dopo l’urto, durante l’oscillazione, l’energia meccanica si conserva:
$$K_0+U_0=K_f+U_f$$
Sapendo che, all’inizio, il sistema si muove con velocità V a quota zero e che, al raggiungimento della massima altezza h, la sua velocità è nulla, posso riscrivere la relazione come:
$$\frac{1}{2}(m_p+m_b)V^2+0=0+(m_p+m_b)gh$$
da cui ricavo che la velocità del sistema è pari a:
$$V=\sqrt{2gh}=$$
$$=\sqrt{2\times9,81\frac{m}{s^2}\times0,176m}=1,86\frac{m}{s}$$
Sostituisco il valore appena trovato nella $(1)$ e ricavo la massa del proiettile:
$$m_p=\frac{1,80kg\times1,86\frac{m}{s}}{(480-1,86)\frac{m}{s}}=$$
$$=7,00\times10^{-3}kg=7,00g$$
