La molecola d’acqua H2O è costituita da
Categoria: FISICA | QUANTITÀ DI MOTO | CENTRO DI MASSA
La molecola d’acqua H2O è costituita da un atomo di ossigeno e due atomi di idrogeno. L’angolo fra i due legami covalenti dell’ossigeno con ciascuno idrogeno è 105°. I legami hanno una lunghezza di 1,0 x 10-10 m e la massa dell’ossigeno è 16 u.m.a, mentre la massa dell’idrogeno vale 1,0 u.m.a (ricorda che 1 u.m.a = 1,66 x 10-27 kg). Dove si trova il centro di massa della molecola?
1) Quantità di Moto
In questa unità didattica affronteremo un nuovo argomento riguardante la velocità e la massa dei corpi: la quantità di moto. Si tratta di una grandezza estremamente interessante di cui è abbastanza semplice farsi un’idea in testa. Essa riveste poi un ruolo particolarmente importante nello studio degli urti tra i corpi, permettendone un’analisi approfondita e dettagliata (possiamo, per esempio, comprendere le dinamiche e le motivazioni di come avvengono certi incidenti stradali), e della dinamica rotazionale, macro-argomento che però affronteremo nel prossimo capitolo. Fatta questa brevissima introduzione, partiamo col presentare nel dettaglio la grandezza che dà il titolo a questa unità.
2) Centro di Massa
In questa lezione parliamo di centro di massa, un punto particolarmente importante dal momento che i sistemi spesso si comportano come se tutta la loro massa fosse concentrata in esso. Si tratta di un argomento non particolarmente complicato, dato che riprende concetti già affrontati, ma a cui bisogna prestare particolare attenzione e per cui bisogna avere delle basi solide anche dal punto di vista matematico.
Ne analizziamo innanzitutto le coordinate, per poi passare a vederne il moto, con tutto ciò che comporta (velocità, accelerazione, …)
In questo esercizio ci viene detto che la molecola d’acqua H2O è costituita da un atomo di ossigeno e due atomi di idrogeno. Fissiamo innanzitutto l’origine del sistema di riferimento in corrispondenza dell’atomo di ossigeno. A questo punto, determiniamo le coordinate dei due atomi di ossigeno applicando i teoremi dei triangoli rettangoli (seno e coseno). Calcoliamo infine quelle del centro di massa utilizzando le apposite formule.
Fisso l’origine del sistema di riferimento in corrispondenza dell’atomo di ossigeno, pertanto esso ha coordinate:
$$O(0;0)$$
Essendo i legami covalenti lunghi uguali, il triangolo che si viene a formare è isoscele. Ciò significa che l’asse y è bisettrice dell’angolo al vertice di 105° e altezza e mediana della base su cui sono appoggiati i due atomi di idrogeno.
Determino l’ordinata a cui si trovano gli atomi di idrogeno applicando i teoremi dei triangoli rettangoli:
$$y_H=l\cos\left(\frac{105^\circ}{2}\right)=1,0\times$$
$$\times10^{-10}m\cos\left(\frac{105^\circ}{2}\right)=6,1\times10^{-11}m$$
Ripeto il ragionamento per l’ascissa:
$$x_H=l\sin\left(\frac{105^\circ}{2}\right)=1,0\times$$
$$\times10^{-10}m\sin\left(\frac{105^\circ}{2}\right)=7,9\times10^{-11}m$$
Dunque gli idrogeni hanno coordinate rispettivamente di:
$$(-7,9\times10^{-11}m;6,1\times10^{-11}m)$$
e
$$(7,9\times10^{-11}m;6,1\times10^{-11}m)$$
Posso ora calcolare l’ascissa del centro di massa:
$$x_{cm}=\frac{x_{H1}m_H+x_Om_O+x_{H2}m_H}{m_H+m_O+m_H}$$
Ricordando che l’ossigeno è nell’origine e che gli idrogeni hanno ascisse opposte:
$$x_{cm}=\frac{(-x_{H}+x_{H})m_h}{2m_H+m_O}=$$
$$=\frac{0}{(2\times1,0+16)\times1,66\times10^{-27}kg}=$$
$$=0,0m$$
E l’ordinata:
$$y_{cm}=\frac{y_{H1}m_H+y_Om_O+y_{H2}m_H}{2m_H+m_O}$$
Ricordando che l’ossigeno è nell’origine e che gli idrogeni hanno la stessa ordinata:
$$y_{cm}=\frac{2y_Hm_H}{2m_H+m_O}=$$
$$\frac{2\times6,1\times10^{-11}m\times1,0\times1,66\times10^{-27}kg}{(2\times1,0+16)\times1,66\times10^{-27}kg}$$
$$=6,8\times10^{-12}m$$
Perciò il centro di massa ha coordinate $(0;6,8\times10^{-12}m)$.