Esercizio

MATERIA – FISICA

Una bambina ha 4 biglie di vetro

Una bambina ha 4 biglie di vetro

Testo del Quesito:

Una bambina ha 4 biglie di vetro, tre di massa 25 g e una di massa 50 g. Ha posizionato le tre biglie uguali su tre vertici di un quadrato di lato 20 cm. Vuole posizionare la bigia della diagonale del quadrato in modo che il centro di massa cada esattamente nel centro del quadrato. A che distanza dal centro deve posizionare la biglia più pesante?

Introduzione all’Argomento:

1) Quantità di Moto

In questa unità didattica affronteremo un nuovo argomento riguardante la velocità e la massa dei corpi: la quantità di moto. Si tratta di una grandezza estremamente interessante di cui è abbastanza semplice farsi un’idea in testa. Essa riveste poi un ruolo particolarmente importante nello studio degli urti tra i corpi, permettendone un’analisi approfondita e dettagliata (possiamo, per esempio, comprendere le dinamiche e le motivazioni di come avvengono certi incidenti stradali), e della dinamica rotazionale, macro-argomento che però affronteremo nel prossimo capitolo. Fatta questa brevissima introduzione, partiamo col presentare nel dettaglio la grandezza che dà il titolo a questa unità.

2) Centro di Massa

In questa lezione parliamo di centro di massa, un punto particolarmente importante dal momento che i sistemi spesso si comportano come se tutta la loro massa fosse concentrata in esso. Si tratta di un argomento non particolarmente complicato, dato che riprende concetti già affrontati, ma a cui bisogna prestare particolare attenzione e per cui bisogna avere delle basi solide anche dal punto di vista matematico.
Ne analizziamo innanzitutto le coordinate, per poi passare a vederne il moto, con tutto ciò che comporta (velocità, accelerazione, …)

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio vi è una bambina che ha 4 biglie di vetro, tre più piccole e una di massa doppia. Fissiamo innanzitutto il sistema di riferimento con l’origine coincidente con il centro del quadrato e, quindi, con il centro di massa. Scritte le coordinate delle tre biglie più piccole, possiamo poi ricavare l’ascissa e l’ordinata di quella più grande partendo dalle formule relative al centro di massa. In questa maniera, riusciamo a ricavare i valori che ci servono per determinare la distanza a cui bisogna posizionare la biglia più pesante rispetto al centro.

Risoluzione dell’Esercizio:

Fisso il sistema di riferimento con l’origine coincidente con il centro del quadrato. Ciò significa che il centro di massa avrà coordinate:

$$CM(0;0)$$

Scrivo ora le coordinate delle tre biglie più piccole:

$$b_1(-0,10m;0,10m)$$

$$b_2(0,10m;0,10m)$$

e

$$b_3(0,10m;-0,10m)$$

Scrivo poi la formula che esprime l’ascissa del centro di massa:

$$x_{cm}=\frac{x_1m_1+x_2m_2+x_3m_3+x_4m_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}$$

Dato che le tre biglie più piccole hanno la stessa massa e posta M la massa della biglia più grande, ho che:

$$x_{cm}=\frac{(x_1+x_2+x_3)m+x_4M}{3m+M}$$

ricordando che il centro di massa si trova nell’origine:

$$0=\frac{(x_1+x_2+x_3)m+x_4M}{3m+M}$$

da cui ricavo che l’ascissa della biglia più grande è di:

$$x_4=-\frac{(x_1+x_2+x_3)m}{M}=-\frac{(-0,10+}{0,050kg}$$

$$\frac{+0,10+0,10)m\times0,025kg}{…}=-0,050m$$

Analogamente, ottengo l’ordinata della biglia più grande:

$$y_4=-\frac{(y_1+y_2+y_3)m}{M}=-\frac{(0,10+}{0,050kg}$$

$$\frac{+0,10-0,10)m\times0,025kg}{…}=-0,050m$$

Perciò essa si trova a una distanza dall’origine pari a (applico il teorema di Pitagora):

$$d=\sqrt{x_4^2+y_4^2}=$$

$$=\sqrt{(-0,050m)^2+(-0,050m)^2}=$$

$$=0,071m=7,1cm$$

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