Due blocchi omogenei a forma di parallelepipedo
Categoria: FISICA | QUANTITÀ DI MOTO | CENTRO DI MASSA
Due blocchi omogenei a forma di parallelepipedo di lunghezza 12 cm e 10 cm e con masse, rispettivamente, di 500 g e 400 g si muovono lungo la stessa direzione rettilinea orizzontale con velocità 2,00 m/s e -3,50 m/s. All’istante t = 0 s si urtano nella posizione x = 0 m. La velocità del primo carrello dopo l’urto vale -2,89 m/s.
1. Determina la posizione dei baricentri dei due blocchi e del loro centro di massa 1,00 s prima dell’urto
2. Determina le stesse grandezze 1,50 s dopo l’urto
3. Calcola la velocità del centro di massa nell’intervallo di tempo considerato
1) Quantità di Moto
In questa unità didattica affronteremo un nuovo argomento riguardante la velocità e la massa dei corpi: la quantità di moto. Si tratta di una grandezza estremamente interessante di cui è abbastanza semplice farsi un’idea in testa. Essa riveste poi un ruolo particolarmente importante nello studio degli urti tra i corpi, permettendone un’analisi approfondita e dettagliata (possiamo, per esempio, comprendere le dinamiche e le motivazioni di come avvengono certi incidenti stradali), e della dinamica rotazionale, macro-argomento che però affronteremo nel prossimo capitolo. Fatta questa brevissima introduzione, partiamo col presentare nel dettaglio la grandezza che dà il titolo a questa unità.
2) Centro di Massa
In questa lezione parliamo di centro di massa, un punto particolarmente importante dal momento che i sistemi spesso si comportano come se tutta la loro massa fosse concentrata in esso. Si tratta di un argomento non particolarmente complicato, dato che riprende concetti già affrontati, ma a cui bisogna prestare particolare attenzione e per cui bisogna avere delle basi solide anche dal punto di vista matematico.
Ne analizziamo innanzitutto le coordinate, per poi passare a vederne il moto, con tutto ciò che comporta (velocità, accelerazione, …)
In questo esercizio vi sono due blocchi omogenei a forma di parallelepipedo. Innanzitutto rappresentiamo graficamente le situazioni che ci vengono proposte, in maniera tale da avere più facilità ad immaginare e comprendere l’esercizio. Dopo aver fatto ciò, calcoliamo le posizioni dei baricentri dei due blocchi negli istanti di tempo richiesti. Procediamo poi in maniera analoga per la determinazione dei centri di massa. Infine, ricaviamo la velocità del centro di massa nell’intervallo di tempo richiesto dal problema applicando la definizione.
So che il baricentro di un blocco omogeneo è situato nel punto corrispondente alla sua metà.
Dunque, considerando t = 0 secondi l’istante in cui avviene l’urto, ho che un secondo prima che ciò avvenga, ovvero in t = -1,0 s, l’estremità che urta l’altro blocco si trova a:
$$x_1=v_1t=2,00\frac{m}{s}\times-1,0s=-2,00m$$
E quindi il suo baricentro (vedi figura per una migliore comprensione):
$$x_{b_1}=-2,00m-\frac{0,12}{2}m=-2,06m$$
Analogamente l’estremità del secondo blocco si trova a:
$$x_2=v_2t=-3,50\frac{m}{s}\times-1,0s=3,50m$$
E quindi il suo baricentro:
$$x_{b_2}=3,50m+\frac{0,10}{2}m=3,55m$$
Determino ora il centro di massa del sistema costituito dai due blocchi un secondo prima dell’urto:
$$x_{cm}=\frac{x_{b_1}m_1+x_{b_2}m_2}{m_1+m_2}=$$
$$\frac{-2,06m\times0,500kg+3,55m\times0,400kg}{0,500kg+0,400kg}$$
$$=0,433m$$
Calcolo ora la velocità del secondo carrello dopo l’urto imponendo la conservazione della quantità di moto:
$$m_1v_1+m_2v_2=m_1V_1+m_2V_2$$
da cui:
$$V_2=\frac{m_1(v_1-V_1)+m_2v_2}{m_2}=\frac{0,500kg\times}{0,400kg}$$
$$\frac{\times(2,00-(-2,89))\frac{m}{s}+0,400kg\times}{…}$$
$$\frac{\times(-3,50\frac{m}{s})}{…}=2,61\frac{m}{s}$$
Ripeto i medesimi passaggi effettuati in precedenza per un nuovo valore di tempo, t = 1,5 secondi, ovvero un secondo e mezzo dopo l’urto.
L’estremità del blocco 1 si trova a:
$$x_1=V_1t=-2,89\frac{m}{s}\times1,5s=-4,34m$$
E quindi il suo baricentro:
$$x_{b_1}=-4,34m-\frac{0,12}{2}m=-4,40m$$
Analogamente l’estremità del secondo blocco si trova a:
$$x_2=V_2t=2,61\frac{m}{s}\times1,5s=3,92m$$
E quindi il suo baricentro:
$$x_{b_2}=3,92m+\frac{0,10}{2}m=3,97m$$
Il centro di massa del sistema costituito dai due blocchi un secondo e mezzo dopo l’urto si troverà perciò in:
$$x_{cm}=\frac{x_{b_1}m_1+x_{b_2}m_2}{m_1+m_2}=$$
$$\frac{-4,40m\times0,500kg+3,97m\times0,400kg}{0,500kg+0,400kg}$$
$$=-0,680m$$
A questo punto, ricavo la velocità del centro di massa nell’intervallo di tempo che va da un secondo prima dell’urto a un secondo e mezzo dopo l’urto applicando la definizione:
$$v_{cm}=\frac{\Delta x_{cm}}{\Delta t}=$$
$$=\frac{-0,680m-0,433m}{1,5s-(-1,0s)}=-0,445\frac{m}{s}$$
