Un giocoliere lancia verticalmente una pallina
Categoria: FISICA | MOTO RETTILINEO | CADUTA LIBERA
Un giocoliere lancia verticalmente una pallina. Nell’istante in cui raggiunge il punto più alto, 60 cm al di sopra del punto di partenza, ne lancia un’altra con la stessa velocità iniziale.
1. A quale altezza si incontrano le due palline?
2. Che velocità hanno al momento dell’incontro?
1) Moto Rettilineo
Storicamente, il moto è il fenomeno fisico più comune, uno dei primi ad essere studiato e analizzato a fondo. La branca generale della fisica che si occupa di ciò si chiama “meccanica“; essa studia infatti come gli oggetti si muovono, come si comportano in presenza di forze esterne e quali grandezze influenzano il moto stesso. In particolare, in questa unità didattica ci soffermeremo sul moto rettilineo, andando ad analizzare due casi: velocità costante e accelerazione costante.
In questa breve pagina introduttiva specificheremo alcuni concetti essenziali per la comprensione e la spiegazione di ciò che affronteremo successivamente, come ad esempio i sistemi di riferimento, la traiettoria, …
2) Caduta Libera
In questa ultima lezione del capitolo, affrontiamo la caduta libera, ovvero un caso particolare di moto rettilineo uniformemente accelerato.
Analizzeremo tre casi specifici: caduta da un’altezza h con partenza da fermo, lancio verso il basso e lancio verso l’alto. Ovviamente, tutto ciò verrà preceduto da una brevissima parte generale, in cui descriviamo tutte le caratteristiche necessarie per comprendere al meglio l’argomento. È bene specificare che, essendo un caso particolare del moto uniformemente accelerato, è necessario conoscere a menadito quest’ultimo.
In questo esercizio vi è un giocoliere che lancia verticalmente una pallina, lanciandone poi una seconda. Imponiamo innanzitutto le condizioni di riferimento: origine nel punto di lancio, direzione verticale, verso dal basso all’alto e istante iniziale quello del lancio della seconda pallina. Determiniamo poi la velocità iniziale con cui viene lanciata la seconda pallina ricavando il tempo dalla legge della velocità. Successivamente sostituiamo quanto trovato nell’equazione oraria appropriata. In seguito calcoliamo l’istante in cui le due sfere si incontrano, così da poter poi ottenere l’altezza a cui ciò avviene e le loro velocità in quel preciso momento. Insomma, nulla di troppo complicato.
Impongo le condizioni di riferimento: origine nel punto di lancio, direzione verticale, verso dal basso all’alto e istante iniziale quello del lancio della seconda pallina.
Scrivo la legge oraria della prima pallina ricordando che, nell’istante iniziale, essa si trova alla sua altezza massima a velocità pari a zero:
$$h_1=h_{0_1}+v_0t-\frac{1}{2}gt^2=h_{0_1}-\frac{1}{2}gt^2$$
E quella della seconda, ricordando che essa parte invece dall’origine:
$$h_2=h_0+v_0t-\frac{1}{2}gt^2=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$$
Determino poi la velocità iniziale con cui viene lanciata la seconda pallina sapendo che l’altezza massima raggiungibile è 60 centimetri. Ricavo il tempo dalla legge della velocità:
$v=v_0-gt$, dato che alla quota massima la velocità è nulla:
$$0=v_0-gt$$
da cui:
$$t=\frac{v_0}{g}$$
Sostituisco ora nella legge oraria:
$$h_{max}=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$$
ovvero:
$$h_{max}=v_0\frac{v_0}{g}-\frac{1}{2}g\left(\frac{v_0}{g}\right)^2=\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{g}$$
da cui:
$$v_0=\sqrt{2gh_{max}}=$$
$$=\sqrt{2\times9,8\frac{m}{s^2}\times0,60m}=3,4\frac{m}{s}$$
Quando le due palline si incontrano, esse assumono la medesima posizione. Pertanto, determino l’istante in cui ciò avviene eguagliando le due leggi orarie:
$$h_{0_1}-\frac{1}{2}gt^2=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$$
da cui:
$$t=\frac{h_{0_1}}{v_0}=\frac{0,60m}{3,4\frac{m}{s}}=0,18s$$
Posso ora calcolare l’altezza a cui avviene l’incontro, sostituendo il valore appena trovato all’interno dell’equazione oraria di una delle due palline:
$$h_1=h_{0_1}-\frac{1}{2}gt^2=$$
$$=0,60m-\frac{1}{2}\times9,8\frac{m}{s^2}\times(0,18s)^2=$$
$$=0,45m$$
Calcolo infine la velocità posseduta dalla prima pallina in questo istante applicando la legge della velocità:
$$v_1=v_{0_1}-gt=$$
$$=0-9,8\frac{m}{s^2}\times0,18s=-1,7\frac{m}{s}$$
E quella della seconda pallina:
$$v_2=v_{0_2}-gt=$$
$$=3,4\frac{m}{s}-9,8\frac{m}{s^2}\times0,18s=1,7\frac{m}{s}$$
