In un triangolo rettangolo
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa misura 14 cm e un cateto misura 9,0 cm. Quanto vale il coseno dell’angolo adiacente a quel cateto? Quanto vale il seno dello stesso angolo?
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – In un triangolo rettangolo
Concetti chiave utilizzati:
1. In un triangolo rettangolo, il coseno di un angolo è dato dal rapporto tra il cateto adiacente e l’ipotenusa.
2. Il seno di un angolo in un triangolo rettangolo è dato dal rapporto tra il cateto opposto e l’ipotenusa.
3. Utilizzo del teorema di Pitagora per trovare la lunghezza del cateto mancante.
Dati dell’esercizio:
– Lunghezza dell’ipotenusa ($ c $): 14 cm
– Lunghezza di un cateto ($ a $): 9,0 cm
Passaggi della risoluzione:
1. Trova la lunghezza del cateto mancante ($ b $) usando il teorema di Pitagora:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
\[ b = \sqrt{c^2 – a^2} \]
\[ b \approx 10.72 \text{ cm} \]
2. Calcola il coseno dell’angolo adiacente al cateto $ a $ usando la formula:
\[ \cos(\theta) = \frac{a}{c} \]
\[ \cos(\theta) \approx 0.64 \]
3. Calcola il seno dell’angolo adiacente al cateto $ a $ usando la formula:
\[ \sin(\theta) = \frac{b}{c} \]
\[ \sin(\theta) \approx 0.77 \]
Risultato:
– Il coseno dell’angolo adiacente al cateto di lunghezza 9,0 cm è circa $ \cos(\theta) \approx 0.64 $.
– Il seno dello stesso angolo è circa $ \sin(\theta) \approx 0.77 $.
Spiegazione:
Abbiamo utilizzato il teorema di Pitagora per trovare la lunghezza del cateto mancante in un triangolo rettangolo. Successivamente, abbiamo utilizzato le definizioni di seno e coseno in un triangolo rettangolo per calcolare i valori di $\sin(\theta)$ e $\cos(\theta)$ rispetto all’angolo adiacente al cateto dato. Questi valori rappresentano il rapporto tra le lunghezze dei cateti e l’ipotenusa del triangolo.
