Un operatore della torre
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Un operatore della torre di controllo osserva due aerei in avvicinamento all’aeroporto. La posizione dell’aereo 1 rispetto alla torre di controllo è individuata dal vettore $\vec A$, che ha modulo A = 220 km e punta in direzione 32° da ovest verso nord. La posizione dell’aereo 2 rispetto alla torre è individuata dal vettore $\vec B$, che ha modulo 140 km e punta in direzione 65° da nord verso est. Calcola modulo e direzione del vettore $\vec D$ (rappresenta la posizione dell’aereo 1 rispetto all’aereo 2).
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità , che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità . I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Un operatore della torre
Concetto chiave 1: Scomposizione dei vettori lungo gli assi cartesiani
Prima di tutto, dobbiamo scomporre i vettori \( \vec{A} \) e \( \vec{B} \) nelle loro componenti lungo gli assi cartesiani.
Dati dell’esercizio:
– \( \vec{A} \): \( A = 220 \) km, direzione \( 32^\circ \) da ovest verso nord
– \( \vec{B} \): \( B = 140 \) km, direzione \( 65^\circ \) da nord verso est
Passaggi della risoluzione:
1. Calcoliamo le componenti di \( \vec{A} \) lungo gli assi x e y:
– \( A_x = A \cos(32^\circ) = -186.571 \) km (negativo perché verso ovest)
– \( A_y = A \sin(32^\circ) = 116.582 \) km (positivo perché verso nord)
2. Calcoliamo le componenti di \( \vec{B} \) lungo gli assi x e y utilizzando l’angolo che il secondo aereo forma con il semiasse positivo delle ascisse (90° – 65° = 25°):
– \( B_x = B \cos(25^\circ) = 126.883 \) km (positivo perché verso est)
– \( B_y = B \sin(25^\circ) = 59.1666 \) km (positivo perché verso nord)
Concetto chiave 2: Somma (o differenza) tra vettori
Ora, calcoliamo il vettore \( \vec{D} \) come differenza tra \( \vec{A} \) e \( \vec{B} \). Questo rappresenta la posizione dell’aereo 1 rispetto all’aereo 2.
3. Calcoliamo le componenti di \( \vec{D} \) lungo gli assi x e y:
– \( D_x = A_x – B_x = -313.454 \) km (negativo perché verso ovest)
– \( D_y = A_y – B_y = 57.4154 \) km (positivo perché verso nord)
Concetto chiave 3: Calcolo del modulo e della direzione di un vettore
Ora, determiniamo il modulo e la direzione del vettore \( \vec{D} \) utilizzando le sue componenti.
4. Calcoliamo il modulo di \( \vec{D} \):
– \( D = \sqrt{D_x^2 + D_y^2} = 318.669 \) km
5. L’angolo \( \theta \) che il vettore \( \vec{D} \) forma con l’asse x positivo (est) è:
– \( \theta = \tan^{-1} \left(\frac{D_y}{D_x}\right) = -10.38^\circ \)
Dato che il vettore \( \vec D \) si trova nel secondo quadrante l’angolo è pari a 180° – 10.38° = 169.62°, che equivale a un angolo di 10.38° se considerato da ovest verso nord (angolo con il semiasse negativo delle ascisse).
Conclusione:
Il vettore \( \vec{D} \), che rappresenta la posizione dell’aereo 1 rispetto all’aereo 2, ha un modulo di \( 318.669 \) km e punta in direzione di \( 10.38^\circ \) da ovest verso nord.
